Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55317 / 18492
↖ ↑ ↗
← N 78.027853°
W 28.067322°		 ← 63.36 m → N 78.027853°
W 28.064575°		 →
↑
63.33 m
↓
↑
63.33 m
↓
N 78.027283°
W 28.067322°		 ← 63.36 m →
4 012 m²		 N 78.027283°
W 28.064575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422039031982422 y=0.141086578369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422039031982422 × 217)
    floor (0.422039031982422 × 131072)
    floor (55317.5)     		tx = 55317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141086578369141 × 217)
    floor (0.141086578369141 × 131072)
    floor (18492.5)     		ty = 18492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55317 / 18492 ti = "17/55317/18492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55317/18492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55317 ÷ 217
    55317 ÷ 131072     		x = 0.422035217285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18492 ÷ 217
    18492 ÷ 131072     		y = 0.141082763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422035217285156 × 2 - 1) × π
    -0.155929565429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.48986718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141082763671875 × 2 - 1) × π
    0.71783447265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25514350572592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48986718} λ = -0.48986718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25514350572592))-π/2
    2×atan(9.53666177752421)-π/2
    2×1.46631963327462-π/2
    2.93263926654924-1.57079632675     		φ = 1.36184294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48986718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.067322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36184294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.027853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55317 KachelY 18492 -0.48986718 1.36184294 -28.067322 78.027853
    Oben rechts KachelX + 1 55318 KachelY 18492 -0.48981924 1.36184294 -28.064575 78.027853
    Unten links KachelX 55317 KachelY + 1 18493 -0.48986718 1.36183300 -28.067322 78.027283
    Unten rechts KachelX + 1 55318 KachelY + 1 18493 -0.48981924 1.36183300 -28.064575 78.027283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36184294-1.36183300) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dl = 63.3277399999113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36184294-1.36183300) × R
    9.93999999998607e-06 × 6371000     		dr = 63.3277399999113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48986718--0.48981924) × cos(1.36184294) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.207436165789235 × 6371000     		do = 63.3563444389717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48986718--0.48981924) × cos(1.36183300) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.207445889569633 × 6371000     		du = 63.3593143317952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36184294)-sin(1.36183300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207436165789235-0.207445889569633)×R²
    abs(-0.48981924--0.48986718)×9.72378039776345e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.72378039776345e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.72378039776345e-06×40589641000000     		ar = 4012.30814628753m²