Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55315 / 18502
↖ ↑ ↗
← N 78.022154°
W 28.072815°		 ← 63.39 m → N 78.022154°
W 28.070068°		 →
↑
63.39 m
↓
↑
63.39 m
↓
N 78.021584°
W 28.072815°		 ← 63.39 m →
4 018 m²		 N 78.021584°
W 28.070068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55315 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422023773193359 y=0.141162872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422023773193359 × 217)
    floor (0.422023773193359 × 131072)
    floor (55315.5)     		tx = 55315
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141162872314453 × 217)
    floor (0.141162872314453 × 131072)
    floor (18502.5)     		ty = 18502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55315 / 18502 ti = "17/55315/18502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55315/18502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55315 ÷ 217
    55315 ÷ 131072     		x = 0.422019958496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18502 ÷ 217
    18502 ÷ 131072     		y = 0.141159057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422019958496094 × 2 - 1) × π
    -0.155960083007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.48996305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141159057617188 × 2 - 1) × π
    0.717681884765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.25466413672972
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48996305} λ = -0.48996305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25466413672972))-π/2
    2×atan(9.5320912931026)-π/2
    2×1.46626990238182-π/2
    2.93253980476363-1.57079632675     		φ = 1.36174348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48996305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.072815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36174348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.022154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55315 KachelY 18502 -0.48996305 1.36174348 -28.072815 78.022154
    Oben rechts KachelX + 1 55316 KachelY 18502 -0.48991511 1.36174348 -28.070068 78.022154
    Unten links KachelX 55315 KachelY + 1 18503 -0.48996305 1.36173353 -28.072815 78.021584
    Unten rechts KachelX + 1 55316 KachelY + 1 18503 -0.48991511 1.36173353 -28.070068 78.021584
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36174348-1.36173353) × R
    9.9499999999253e-06 × 6371000     		dl = 63.3914499995241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36174348-1.36173353) × R
    9.9499999999253e-06 × 6371000     		dr = 63.3914499995241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48996305--0.48991511) × cos(1.36174348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.207533461364435 × 6371000     		do = 63.3860610120259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48996305--0.48991511) × cos(1.36173353) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.207543194721961 × 6371000     		du = 63.3890338299507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36174348)-sin(1.36173353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.207533461364435-0.207543194721961)×R²
    abs(-0.48991511--0.48996305)×9.7333575252434e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.7333575252434e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.7333575252434e-06×40589641000000     		ar = 4018.22854293325m²