Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55310 / 18813
↖ ↑ ↗
← N 77.843583°
W 28.086548°		 ← 64.32 m → N 77.843583°
W 28.083801°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.843005°
W 28.086548°		 ← 64.32 m →
4 139 m²		 N 77.843005°
W 28.083801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421985626220703 y=0.143535614013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421985626220703 × 217)
    floor (0.421985626220703 × 131072)
    floor (55310.5)     		tx = 55310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143535614013672 × 217)
    floor (0.143535614013672 × 131072)
    floor (18813.5)     		ty = 18813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55310 / 18813 ti = "17/55310/18813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55310/18813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55310 ÷ 217
    55310 ÷ 131072     		x = 0.421981811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18813 ÷ 217
    18813 ÷ 131072     		y = 0.143531799316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421981811523438 × 2 - 1) × π
    -0.156036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49020274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143531799316406 × 2 - 1) × π
    0.712936401367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.23975576094788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49020274} λ = -0.49020274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23975576094788))-π/2
    2×atan(9.39103734925897)-π/2
    2×1.46471157591471-π/2
    2.92942315182941-1.57079632675     		φ = 1.35862683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49020274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.086548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35862683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.843583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55310 KachelY 18813 -0.49020274 1.35862683 -28.086548 77.843583
    Oben rechts KachelX + 1 55311 KachelY 18813 -0.49015480 1.35862683 -28.083801 77.843583
    Unten links KachelX 55310 KachelY + 1 18814 -0.49020274 1.35861673 -28.086548 77.843005
    Unten rechts KachelX + 1 55311 KachelY + 1 18814 -0.49015480 1.35861673 -28.083801 77.843005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35862683-1.35861673) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dl = 64.3470999993747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35862683-1.35861673) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dr = 64.3470999993747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49020274--0.49015480) × cos(1.35862683) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210581242535808 × 6371000     		do = 64.316931831651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49020274--0.49015480) × cos(1.35861673) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210591116046307 × 6371000     		du = 64.3199474559014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35862683)-sin(1.35861673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210581242535808-0.210591116046307)×R²
    abs(-0.49015480--0.49020274)×9.87351049844265e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.87351049844265e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.87351049844265e-06×40589641000000     		ar = 4138.70506751377m²