Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55310 / 18799
↖ ↑ ↗
← N 77.851677°
W 28.086548°		 ← 64.27 m → N 77.851677°
W 28.083801°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.851100°
W 28.086548°		 ← 64.28 m →
4 128 m²		 N 77.851100°
W 28.083801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421985626220703 y=0.143428802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421985626220703 × 217)
    floor (0.421985626220703 × 131072)
    floor (55310.5)     		tx = 55310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143428802490234 × 217)
    floor (0.143428802490234 × 131072)
    floor (18799.5)     		ty = 18799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55310 / 18799 ti = "17/55310/18799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55310/18799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55310 ÷ 217
    55310 ÷ 131072     		x = 0.421981811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18799 ÷ 217
    18799 ÷ 131072     		y = 0.143424987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421981811523438 × 2 - 1) × π
    -0.156036376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49020274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143424987792969 × 2 - 1) × π
    0.713150024414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.24042687754256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49020274} λ = -0.49020274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24042687754256))-π/2
    2×atan(9.39734194558831)-π/2
    2×1.46478221502474-π/2
    2.92956443004949-1.57079632675     		φ = 1.35876810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49020274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.086548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35876810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.851677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55310 KachelY 18799 -0.49020274 1.35876810 -28.086548 77.851677
    Oben rechts KachelX + 1 55311 KachelY 18799 -0.49015480 1.35876810 -28.083801 77.851677
    Unten links KachelX 55310 KachelY + 1 18800 -0.49020274 1.35875802 -28.086548 77.851100
    Unten rechts KachelX + 1 55311 KachelY + 1 18800 -0.49015480 1.35875802 -28.083801 77.851100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35876810-1.35875802) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35876810-1.35875802) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49020274--0.49015480) × cos(1.35876810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210443138222535 × 6371000     		do = 64.2747512195724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49020274--0.49015480) × cos(1.35875802) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210452992481326 × 6371000     		du = 64.2777609638557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35876810)-sin(1.35875802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210443138222535-0.210452992481326)×R²
    abs(-0.49015480--0.49020274)×9.85425879057589e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.85425879057589e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.85425879057589e-06×40589641000000     		ar = 4127.80059789695m²