Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55308 / 42989
↖ ↑ ↗
← N 52.514549°
W 28.092041°		 ← 185.87 m → N 52.514549°
W 28.089294°		 →
↑
185.84 m
↓
↑
185.84 m
↓
N 52.512878°
W 28.092041°		 ← 185.88 m →
34 543 m²		 N 52.512878°
W 28.089294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421970367431641 y=0.327983856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421970367431641 × 217)
    floor (0.421970367431641 × 131072)
    floor (55308.5)     		tx = 55308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327983856201172 × 217)
    floor (0.327983856201172 × 131072)
    floor (42989.5)     		ty = 42989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55308 / 42989 ti = "17/55308/42989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55308/42989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55308 ÷ 217
    55308 ÷ 131072     		x = 0.421966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42989 ÷ 217
    42989 ÷ 131072     		y = 0.327980041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.15606689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49029861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327980041503906 × 2 - 1) × π
    0.344039916992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08083327573341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49029861} λ = -0.49029861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08083327573341))-π/2
    2×atan(2.94713430367894)-π/2
    2×1.24367405981694-π/2
    2.48734811963388-1.57079632675     		φ = 0.91655179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49029861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.092041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91655179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.514549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55308 KachelY 42989 -0.49029861 0.91655179 -28.092041 52.514549
    Oben rechts KachelX + 1 55309 KachelY 42989 -0.49025067 0.91655179 -28.089294 52.514549
    Unten links KachelX 55308 KachelY + 1 42990 -0.49029861 0.91652262 -28.092041 52.512878
    Unten rechts KachelX + 1 55309 KachelY + 1 42990 -0.49025067 0.91652262 -28.089294 52.512878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91655179-0.91652262) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dl = 185.842070000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91655179-0.91652262) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dr = 185.842070000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49029861--0.49025067) × cos(0.91655179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608559951025748 × 6371000     		do = 185.869873376496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49029861--0.49025067) × cos(0.91652262) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608583097392254 × 6371000     		du = 185.876942872615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91655179)-sin(0.91652262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608559951025748-0.608583097392254)×R²
    abs(-0.49025067--0.49029861)×2.31463665063547e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31463665063547e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31463665063547e-05×40589641000000     		ar = 34543.0989263005m²