Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55308 / 18828
↖ ↑ ↗
← N 77.834904°
W 28.092041°		 ← 64.36 m → N 77.834904°
W 28.089294°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.834325°
W 28.092041°		 ← 64.37 m →
4 142 m²		 N 77.834325°
W 28.089294°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421970367431641 y=0.143650054931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421970367431641 × 217)
    floor (0.421970367431641 × 131072)
    floor (55308.5)     		tx = 55308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143650054931641 × 217)
    floor (0.143650054931641 × 131072)
    floor (18828.5)     		ty = 18828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55308 / 18828 ti = "17/55308/18828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55308/18828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55308 ÷ 217
    55308 ÷ 131072     		x = 0.421966552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18828 ÷ 217
    18828 ÷ 131072     		y = 0.143646240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421966552734375 × 2 - 1) × π
    -0.15606689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49029861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143646240234375 × 2 - 1) × π
    0.71270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23903670745358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49029861} λ = -0.49029861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23903670745358))-π/2
    2×atan(9.38428711821733)-π/2
    2×1.46463583970861-π/2
    2.92927167941723-1.57079632675     		φ = 1.35847535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49029861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.092041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35847535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.834904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55308 KachelY 18828 -0.49029861 1.35847535 -28.092041 77.834904
    Oben rechts KachelX + 1 55309 KachelY 18828 -0.49025067 1.35847535 -28.089294 77.834904
    Unten links KachelX 55308 KachelY + 1 18829 -0.49029861 1.35846525 -28.092041 77.834325
    Unten rechts KachelX + 1 55309 KachelY + 1 18829 -0.49025067 1.35846525 -28.089294 77.834325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35847535-1.35846525) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dl = 64.3470999993747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35847535-1.35846525) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dr = 64.3470999993747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49029861--0.49025067) × cos(1.35847535) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210729323386287 × 6371000     		do = 64.3621595349885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49029861--0.49025067) × cos(1.35846525) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210739196574487 × 6371000     		du = 64.3651750608004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35847535)-sin(1.35846525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210729323386287-0.210739196574487)×R²
    abs(-0.49025067--0.49029861)×9.87318819928307e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.87318819928307e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.87318819928307e-06×40589641000000     		ar = 4141.61533590187m²