Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55306 / 18802
↖ ↑ ↗
← N 77.849944°
W 28.097534°		 ← 64.27 m → N 77.849944°
W 28.094788°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.849366°
W 28.097534°		 ← 64.27 m →
4 132 m²		 N 77.849366°
W 28.094788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421955108642578 y=0.143451690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421955108642578 × 217)
    floor (0.421955108642578 × 131072)
    floor (55306.5)     		tx = 55306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143451690673828 × 217)
    floor (0.143451690673828 × 131072)
    floor (18802.5)     		ty = 18802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55306 / 18802 ti = "17/55306/18802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55306/18802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55306 ÷ 217
    55306 ÷ 131072     		x = 0.421951293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18802 ÷ 217
    18802 ÷ 131072     		y = 0.143447875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421951293945312 × 2 - 1) × π
    -0.156097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49039448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143447875976562 × 2 - 1) × π
    0.713104248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2402830668437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49039448} λ = -0.49039448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2402830668437))-π/2
    2×atan(9.39599060444666)-π/2
    2×1.46476708197383-π/2
    2.92953416394766-1.57079632675     		φ = 1.35873784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49039448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.097534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35873784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.849944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55306 KachelY 18802 -0.49039448 1.35873784 -28.097534 77.849944
    Oben rechts KachelX + 1 55307 KachelY 18802 -0.49034655 1.35873784 -28.094788 77.849944
    Unten links KachelX 55306 KachelY + 1 18803 -0.49039448 1.35872775 -28.097534 77.849366
    Unten rechts KachelX + 1 55307 KachelY + 1 18803 -0.49034655 1.35872775 -28.094788 77.849366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35873784-1.35872775) × R
    1.00900000001847e-05 × 6371000     		dl = 64.2833900011766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35873784-1.35872775) × R
    1.00900000001847e-05 × 6371000     		dr = 64.2833900011766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49039448--0.49034655) × cos(1.35873784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21047272048675 × 6371000     		do = 64.2703771874961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49039448--0.49034655) × cos(1.35872775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210482584457322 × 6371000     		du = 64.2733892695736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35873784)-sin(1.35872775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21047272048675-0.210482584457322)×R²
    abs(-0.49034655--0.49039448)×9.86397057128885e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.86397057128885e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.86397057128885e-06×40589641000000     		ar = 4131.61453566592m²