Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55305 / 42990
↖ ↑ ↗
← N 52.512878°
W 28.100281°		 ← 185.88 m → N 52.512878°
W 28.097534°		 →
↑
185.84 m
↓
↑
185.84 m
↓
N 52.511207°
W 28.100281°		 ← 185.88 m →
34 544 m²		 N 52.511207°
W 28.097534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421947479248047 y=0.327991485595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421947479248047 × 217)
    floor (0.421947479248047 × 131072)
    floor (55305.5)     		tx = 55305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327991485595703 × 217)
    floor (0.327991485595703 × 131072)
    floor (42990.5)     		ty = 42990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55305 / 42990 ti = "17/55305/42990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55305/42990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55305 ÷ 217
    55305 ÷ 131072     		x = 0.421943664550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42990 ÷ 217
    42990 ÷ 131072     		y = 0.327987670898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421943664550781 × 2 - 1) × π
    -0.156112670898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.49044242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327987670898438 × 2 - 1) × π
    0.344024658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08078533883379
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49044242} λ = -0.49044242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08078533883379))-π/2
    2×atan(2.94699303058378)-π/2
    2×1.24365947330093-π/2
    2.48731894660187-1.57079632675     		φ = 0.91652262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49044242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.100281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91652262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.512878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55305 KachelY 42990 -0.49044242 0.91652262 -28.100281 52.512878
    Oben rechts KachelX + 1 55306 KachelY 42990 -0.49039448 0.91652262 -28.097534 52.512878
    Unten links KachelX 55305 KachelY + 1 42991 -0.49044242 0.91649345 -28.100281 52.511207
    Unten rechts KachelX + 1 55306 KachelY + 1 42991 -0.49039448 0.91649345 -28.097534 52.511207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91652262-0.91649345) × R
    2.91699999999118e-05 × 6371000     		dl = 185.842069999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91652262-0.91649345) × R
    2.91699999999118e-05 × 6371000     		dr = 185.842069999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49044242--0.49039448) × cos(0.91652262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608583097392254 × 6371000     		do = 185.8769428724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49044242--0.49039448) × cos(0.91649345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.608606243240924 × 6371000     		du = 185.884012210357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91652262)-sin(0.91649345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608583097392254-0.608606243240924)×R²
    abs(-0.49039448--0.49044242)×2.31458486696923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31458486696923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31458486696923e-05×40589641000000     		ar = 34544.4127212788m²