Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55303 / 43013
↖ ↑ ↗
← N 52.474416°
W 28.105774°		 ← 186 m → N 52.474416°
W 28.103028°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
N 52.472743°
W 28.105774°		 ← 186.01 m →
34 603 m²		 N 52.472743°
W 28.103028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421932220458984 y=0.328166961669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421932220458984 × 217)
    floor (0.421932220458984 × 131072)
    floor (55303.5)     		tx = 55303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328166961669922 × 217)
    floor (0.328166961669922 × 131072)
    floor (43013.5)     		ty = 43013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55303 / 43013 ti = "17/55303/43013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55303/43013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55303 ÷ 217
    55303 ÷ 131072     		x = 0.421928405761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43013 ÷ 217
    43013 ÷ 131072     		y = 0.328163146972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421928405761719 × 2 - 1) × π
    -0.156143188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49053829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328163146972656 × 2 - 1) × π
    0.343673706054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.07968279014252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49053829} λ = -0.49053829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07968279014252))-π/2
    2×atan(2.94374561781907)-π/2
    2×1.24332383027809-π/2
    2.48664766055618-1.57079632675     		φ = 0.91585133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49053829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.105774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91585133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.474416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55303 KachelY 43013 -0.49053829 0.91585133 -28.105774 52.474416
    Oben rechts KachelX + 1 55304 KachelY 43013 -0.49049036 0.91585133 -28.103028 52.474416
    Unten links KachelX 55303 KachelY + 1 43014 -0.49053829 0.91582213 -28.105774 52.472743
    Unten rechts KachelX + 1 55304 KachelY + 1 43014 -0.49049036 0.91582213 -28.103028 52.472743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91585133-0.91582213) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91585133-0.91582213) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49053829--0.49049036) × cos(0.91585133) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.60911562223013 × 6371000     		do = 186.000782908804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49053829--0.49049036) × cos(0.91582213) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.609138779948281 × 6371000     		du = 186.007854396629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91585133)-sin(0.91582213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60911562223013-0.609138779948281)×R²
    abs(-0.49049036--0.49053829)×2.3157718150868e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3157718150868e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3157718150868e-05×40589641000000     		ar = 34602.9786152813m²