Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55301 / 43023
↖ ↑ ↗
← N 52.457683°
W 28.111267°		 ← 186.11 m → N 52.457683°
W 28.108520°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
N 52.456010°
W 28.111267°		 ← 186.12 m →
34 635 m²		 N 52.456010°
W 28.108520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55301 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421916961669922 y=0.328243255615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421916961669922 × 217)
    floor (0.421916961669922 × 131072)
    floor (55301.5)     		tx = 55301
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328243255615234 × 217)
    floor (0.328243255615234 × 131072)
    floor (43023.5)     		ty = 43023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55301 / 43023 ti = "17/55301/43023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55301/43023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55301 ÷ 217
    55301 ÷ 131072     		x = 0.421913146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43023 ÷ 217
    43023 ÷ 131072     		y = 0.328239440917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421913146972656 × 2 - 1) × π
    -0.156173706054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.49063417
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328239440917969 × 2 - 1) × π
    0.343521118164062 × 3.1415926535     		Φ = 1.07920342114632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49063417} λ = -0.49063417}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07920342114632))-π/2
    2×atan(2.94233481561162)-π/2
    2×1.24317780695296-π/2
    2.48635561390593-1.57079632675     		φ = 0.91555929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49063417} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.111267°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91555929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.457683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55301 KachelY 43023 -0.49063417 0.91555929 -28.111267 52.457683
    Oben rechts KachelX + 1 55302 KachelY 43023 -0.49058623 0.91555929 -28.108520 52.457683
    Unten links KachelX 55301 KachelY + 1 43024 -0.49063417 0.91553008 -28.111267 52.456010
    Unten rechts KachelX + 1 55302 KachelY + 1 43024 -0.49058623 0.91553008 -28.108520 52.456010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91555929-0.91553008) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91555929-0.91553008) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49063417--0.49058623) × cos(0.91555929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609347207753486 × 6371000     		do = 186.11032184492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49063417--0.49058623) × cos(0.91553008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609370368205133 × 6371000     		du = 186.117395643003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91555929)-sin(0.91553008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609347207753486-0.609370368205133)×R²
    abs(-0.49058623--0.49063417)×2.31604516469641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31604516469641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31604516469641e-05×40589641000000     		ar = 34635.2140229862m²