Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55300 / 43020
↖ ↑ ↗
← N 52.462703°
W 28.114013°		 ← 186.05 m → N 52.462703°
W 28.111267°		 →
↑
186.03 m
↓
↑
186.03 m
↓
N 52.461030°
W 28.114013°		 ← 186.06 m →
34 612 m²		 N 52.461030°
W 28.111267°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421909332275391 y=0.328220367431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421909332275391 × 217)
    floor (0.421909332275391 × 131072)
    floor (55300.5)     		tx = 55300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328220367431641 × 217)
    floor (0.328220367431641 × 131072)
    floor (43020.5)     		ty = 43020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55300 / 43020 ti = "17/55300/43020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55300/43020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55300 ÷ 217
    55300 ÷ 131072     		x = 0.421905517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43020 ÷ 217
    43020 ÷ 131072     		y = 0.328216552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421905517578125 × 2 - 1) × π
    -0.15618896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49068210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328216552734375 × 2 - 1) × π
    0.34356689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07934723184518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49068210} λ = -0.49068210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07934723184518))-π/2
    2×atan(2.94275798526517)-π/2
    2×1.24322161977898-π/2
    2.48644323955796-1.57079632675     		φ = 0.91564691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49068210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.114013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91564691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.462703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55300 KachelY 43020 -0.49068210 0.91564691 -28.114013 52.462703
    Oben rechts KachelX + 1 55301 KachelY 43020 -0.49063417 0.91564691 -28.111267 52.462703
    Unten links KachelX 55300 KachelY + 1 43021 -0.49068210 0.91561771 -28.114013 52.461030
    Unten rechts KachelX + 1 55301 KachelY + 1 43021 -0.49063417 0.91561771 -28.111267 52.461030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91564691-0.91561771) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dl = 186.033199999691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91564691-0.91561771) × R
    2.91999999999515e-05 × 6371000     		dr = 186.033199999691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49068210--0.49063417) × cos(0.91564691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609277731208735 × 6371000     		do = 186.050284835808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49068210--0.49063417) × cos(0.91561771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609300885290483 × 6371000     		du = 186.057355213213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91564691)-sin(0.91561771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609277731208735-0.609300885290483)×R²
    abs(-0.49063417--0.49068210)×2.31540817478004e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31540817478004e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31540817478004e-05×40589641000000     		ar = 34612.1875137432m²