Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 553 / 420
↖ ↑ ↗
← N 80.589727°
W131.396484°		 ← 1 597.91 m → N 80.589727°
W131.308594°		 →
↑
1 599.12 m
↓
↑
1 599.12 m
↓
N 80.575346°
W131.396484°		 ← 1 600.33 m →
2 557 188 m²		 N 80.575346°
W131.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1351318359375 y=0.1026611328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1351318359375 × 212)
    floor (0.1351318359375 × 4096)
    floor (553.5)     		tx = 553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1026611328125 × 212)
    floor (0.1026611328125 × 4096)
    floor (420.5)     		ty = 420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 553 / 420 ti = "12/553/420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/553/420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 553 ÷ 212
    553 ÷ 4096     		x = 0.135009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 420 ÷ 212
    420 ÷ 4096     		y = 0.1025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.72998046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29330128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1025390625 × 2 - 1) × π
    0.794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49732072260645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29330128} λ = -2.29330128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49732072260645))-π/2
    2×atan(12.1498973671951)-π/2
    2×1.48867620234983-π/2
    2.97735240469966-1.57079632675     		φ = 1.40655608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29330128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.396484°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40655608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.589727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 553 KachelY 420 -2.29330128 1.40655608 -131.396484 80.589727
    Oben rechts KachelX + 1 554 KachelY 420 -2.29176730 1.40655608 -131.308594 80.589727
    Unten links KachelX 553 KachelY + 1 421 -2.29330128 1.40630508 -131.396484 80.575346
    Unten rechts KachelX + 1 554 KachelY + 1 421 -2.29176730 1.40630508 -131.308594 80.575346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40655608-1.40630508) × R
    0.000251000000000001 × 6371000     		dl = 1599.12100000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40655608-1.40630508) × R
    0.000251000000000001 × 6371000     		dr = 1599.12100000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29330128--2.29176730) × cos(1.40655608) × R
    0.00153398000000005 × 0.163502849150264 × 6371000     		do = 1597.91115053735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29330128--2.29176730) × cos(1.40630508) × R
    0.00153398000000005 × 0.163750466255574 × 6371000     		du = 1600.33110918451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40655608)-sin(1.40630508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163502849150264-0.163750466255574)×R²
    abs(-2.29176730--2.29330128)×0.000247617105309489×R²
    0.00153398000000005×0.000247617105309489×6371000²
    0.00153398000000005×0.000247617105309489×40589641000000     		ar = 2557188.19373086m²