Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 553 / 25
↖ ↑ ↗
← N 84.657170°
W 82.792969°		 ← 1 820.02 m → N 84.657170°
W 82.617187°		 →
↑
1 822.81 m
↓
↑
1 822.81 m
↓
N 84.640777°
W 82.792969°		 ← 1 825.59 m →
3 322 622 m²		 N 84.640777°
W 82.617187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 553 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270263671875 y=0.012451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270263671875 × 211)
    floor (0.270263671875 × 2048)
    floor (553.5)     		tx = 553
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.012451171875 × 211)
    floor (0.012451171875 × 2048)
    floor (25.5)     		ty = 25
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 553 / 25 ti = "11/553/25"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/553/25.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 553 ÷ 211
    553 ÷ 2048     		x = 0.27001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25 ÷ 211
    25 ÷ 2048     		y = 0.01220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27001953125 × 2 - 1) × π
    -0.4599609375 × 3.1415926535     		Λ = -1.44500990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.01220703125 × 2 - 1) × π
    0.9755859375 × 3.1415926535     		Φ = 3.06489361410791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44500990} λ = -1.44500990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.06489361410791))-π/2
    2×atan(21.4321817841145)-π/2
    2×1.52417133662248-π/2
    3.04834267324497-1.57079632675     		φ = 1.47754635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44500990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.792969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47754635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.657170°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 553 KachelY 25 -1.44500990 1.47754635 -82.792969 84.657170
    Oben rechts KachelX + 1 554 KachelY 25 -1.44194194 1.47754635 -82.617187 84.657170
    Unten links KachelX 553 KachelY + 1 26 -1.44500990 1.47726024 -82.792969 84.640777
    Unten rechts KachelX + 1 554 KachelY + 1 26 -1.44194194 1.47726024 -82.617187 84.640777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47754635-1.47726024) × R
    0.000286110000000006 × 6371000     		dl = 1822.80681000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47754635-1.47726024) × R
    0.000286110000000006 × 6371000     		dr = 1822.80681000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44500990--1.44194194) × cos(1.47754635) × R
    0.00306796000000009 × 0.0931148921071489 × 6371000     		do = 1820.02118192268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44500990--1.44194194) × cos(1.47726024) × R
    0.00306796000000009 × 0.0933997552501823 × 6371000     		du = 1825.58910927069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47754635)-sin(1.47726024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0931148921071489-0.0933997552501823)×R²
    abs(-1.44194194--1.44500990)×0.000284863143033443×R²
    0.00306796000000009×0.000284863143033443×6371000²
    0.00306796000000009×0.000284863143033443×40589641000000     		ar = 3322621.65536805m²