Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55299 / 43021
↖ ↑ ↗
← N 52.461030°
W 28.116760°		 ← 186.10 m → N 52.461030°
W 28.114013°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
N 52.459357°
W 28.116760°		 ← 186.10 m →
34 633 m²		 N 52.459357°
W 28.114013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421901702880859 y=0.328227996826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421901702880859 × 217)
    floor (0.421901702880859 × 131072)
    floor (55299.5)     		tx = 55299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328227996826172 × 217)
    floor (0.328227996826172 × 131072)
    floor (43021.5)     		ty = 43021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55299 / 43021 ti = "17/55299/43021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55299/43021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55299 ÷ 217
    55299 ÷ 131072     		x = 0.421897888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43021 ÷ 217
    43021 ÷ 131072     		y = 0.328224182128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421897888183594 × 2 - 1) × π
    -0.156204223632812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49073004
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328224182128906 × 2 - 1) × π
    0.343551635742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.07929929494556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49073004} λ = -0.49073004}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07929929494556))-π/2
    2×atan(2.94261692195211)-π/2
    2×1.24320701605876-π/2
    2.48641403211751-1.57079632675     		φ = 0.91561771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49073004} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.116760°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91561771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.461030°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55299 KachelY 43021 -0.49073004 0.91561771 -28.116760 52.461030
    Oben rechts KachelX + 1 55300 KachelY 43021 -0.49068210 0.91561771 -28.114013 52.461030
    Unten links KachelX 55299 KachelY + 1 43022 -0.49073004 0.91558850 -28.116760 52.459357
    Unten rechts KachelX + 1 55300 KachelY + 1 43022 -0.49068210 0.91558850 -28.114013 52.459357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91561771-0.91558850) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91561771-0.91558850) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49073004--0.49068210) × cos(0.91561771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609300885290483 × 6371000     		do = 186.096173772379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49073004--0.49068210) × cos(0.91558850) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609324046781929 × 6371000     		du = 186.103247888043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91561771)-sin(0.91558850))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609300885290483-0.609324046781929)×R²
    abs(-0.49068210--0.49073004)×2.31614914465439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31614914465439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31614914465439e-05×40589641000000     		ar = 34632.581139884m²