Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55298 / 18758
↖ ↑ ↗
← N 77.875353°
W 28.119507°		 ← 64.15 m → N 77.875353°
W 28.116760°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.874776°
W 28.119507°		 ← 64.15 m →
4 116 m²		 N 77.874776°
W 28.116760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55298 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421894073486328 y=0.143115997314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421894073486328 × 217)
    floor (0.421894073486328 × 131072)
    floor (55298.5)     		tx = 55298
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143115997314453 × 217)
    floor (0.143115997314453 × 131072)
    floor (18758.5)     		ty = 18758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55298 / 18758 ti = "17/55298/18758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55298/18758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55298 ÷ 217
    55298 ÷ 131072     		x = 0.421890258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18758 ÷ 217
    18758 ÷ 131072     		y = 0.143112182617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421890258789062 × 2 - 1) × π
    -0.156219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49077798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143112182617188 × 2 - 1) × π
    0.713775634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.24239229042699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49077798} λ = -0.49077798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24239229042699))-π/2
    2×atan(9.4158297646751)-π/2
    2×1.46498882029417-π/2
    2.92997764058835-1.57079632675     		φ = 1.35918131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49077798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.119507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35918131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.875353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55298 KachelY 18758 -0.49077798 1.35918131 -28.119507 77.875353
    Oben rechts KachelX + 1 55299 KachelY 18758 -0.49073004 1.35918131 -28.116760 77.875353
    Unten links KachelX 55298 KachelY + 1 18759 -0.49077798 1.35917124 -28.119507 77.874776
    Unten rechts KachelX + 1 55299 KachelY + 1 18759 -0.49073004 1.35917124 -28.116760 77.874776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35918131-1.35917124) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dl = 64.1559700005363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35918131-1.35917124) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dr = 64.1559700005363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49077798--0.49073004) × cos(1.35918131) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210039163651906 × 6371000     		do = 64.1513669873966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49077798--0.49073004) × cos(1.35917124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210049009009496 × 6371000     		du = 64.1543740130241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35918131)-sin(1.35917124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210039163651906-0.210049009009496)×R²
    abs(-0.49073004--0.49077798)×9.84535758996596e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.84535758996596e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.84535758996596e-06×40589641000000     		ar = 4115.78963516994m²