Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55293 / 18779
↖ ↑ ↗
← N 77.863232°
W 28.133240°		 ← 64.20 m → N 77.863232°
W 28.130493°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.862655°
W 28.133240°		 ← 64.20 m →
4 123 m²		 N 77.862655°
W 28.130493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421855926513672 y=0.143276214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421855926513672 × 217)
    floor (0.421855926513672 × 131072)
    floor (55293.5)     		tx = 55293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143276214599609 × 217)
    floor (0.143276214599609 × 131072)
    floor (18779.5)     		ty = 18779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55293 / 18779 ti = "17/55293/18779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55293/18779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55293 ÷ 217
    55293 ÷ 131072     		x = 0.421852111816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18779 ÷ 217
    18779 ÷ 131072     		y = 0.143272399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421852111816406 × 2 - 1) × π
    -0.156295776367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.49101766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143272399902344 × 2 - 1) × π
    0.713455200195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.24138561553497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49101766} λ = -0.49101766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24138561553497))-π/2
    2×atan(9.40635585463721)-π/2
    2×1.46488304767746-π/2
    2.92976609535493-1.57079632675     		φ = 1.35896977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49101766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.133240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35896977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.863232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55293 KachelY 18779 -0.49101766 1.35896977 -28.133240 77.863232
    Oben rechts KachelX + 1 55294 KachelY 18779 -0.49096973 1.35896977 -28.130493 77.863232
    Unten links KachelX 55293 KachelY + 1 18780 -0.49101766 1.35895969 -28.133240 77.862655
    Unten rechts KachelX + 1 55294 KachelY + 1 18780 -0.49096973 1.35895969 -28.130493 77.862655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35896977-1.35895969) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35896977-1.35895969) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49101766--0.49096973) × cos(1.35896977) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210245980122362 × 6371000     		do = 64.2011392895435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49101766--0.49096973) × cos(1.35895969) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210255834808758 × 6371000     		du = 64.2041485365864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35896977)-sin(1.35895969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210245980122362-0.210255834808758)×R²
    abs(-0.49096973--0.49101766)×9.85468639608245e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.85468639608245e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.85468639608245e-06×40589641000000     		ar = 4123.07324731865m²