Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55284 / 42988
↖ ↑ ↗
← N 52.516221°
W 28.157959°		 ← 185.82 m → N 52.516221°
W 28.155213°		 →
↑
185.84 m
↓
↑
185.84 m
↓
N 52.514549°
W 28.157959°		 ← 185.83 m →
34 535 m²		 N 52.514549°
W 28.155213°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55284 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421787261962891 y=0.327976226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421787261962891 × 217)
    floor (0.421787261962891 × 131072)
    floor (55284.5)     		tx = 55284
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327976226806641 × 217)
    floor (0.327976226806641 × 131072)
    floor (42988.5)     		ty = 42988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55284 / 42988 ti = "17/55284/42988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55284/42988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55284 ÷ 217
    55284 ÷ 131072     		x = 0.421783447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42988 ÷ 217
    42988 ÷ 131072     		y = 0.327972412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421783447265625 × 2 - 1) × π
    -0.15643310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49144909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327972412109375 × 2 - 1) × π
    0.34405517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08088121263303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49144909} λ = -0.49144909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08088121263303))-π/2
    2×atan(2.94727558354645)-π/2
    2×1.24368864577811-π/2
    2.48737729155623-1.57079632675     		φ = 0.91658096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49144909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.157959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91658096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.516221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55284 KachelY 42988 -0.49144909 0.91658096 -28.157959 52.516221
    Oben rechts KachelX + 1 55285 KachelY 42988 -0.49140116 0.91658096 -28.155213 52.516221
    Unten links KachelX 55284 KachelY + 1 42989 -0.49144909 0.91655179 -28.157959 52.514549
    Unten rechts KachelX + 1 55285 KachelY + 1 42989 -0.49140116 0.91655179 -28.155213 52.514549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91658096-0.91655179) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dl = 185.842070000145m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91658096-0.91655179) × R
    2.91700000000228e-05 × 6371000     		dr = 185.842070000145m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49144909--0.49140116) × cos(0.91658096) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608536804141425 × 6371000     		do = 185.824033842236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49144909--0.49140116) × cos(0.91655179) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.608559951025748 × 6371000     		du = 185.831102021822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91658096)-sin(0.91655179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608536804141425-0.608559951025748)×R²
    abs(-0.49140116--0.49144909)×2.31468843232552e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31468843232552e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31468843232552e-05×40589641000000     		ar = 34534.579889905m²