Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55281 / 43025
↖ ↑ ↗
← N 52.454335°
W 28.166199°		 ← 186.12 m → N 52.454335°
W 28.163452°		 →
↑
186.10 m
↓
↑
186.10 m
↓
N 52.452662°
W 28.166199°		 ← 186.13 m →
34 638 m²		 N 52.452662°
W 28.163452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421764373779297 y=0.328258514404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421764373779297 × 217)
    floor (0.421764373779297 × 131072)
    floor (55281.5)     		tx = 55281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328258514404297 × 217)
    floor (0.328258514404297 × 131072)
    floor (43025.5)     		ty = 43025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55281 / 43025 ti = "17/55281/43025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55281/43025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55281 ÷ 217
    55281 ÷ 131072     		x = 0.421760559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43025 ÷ 217
    43025 ÷ 131072     		y = 0.328254699707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421760559082031 × 2 - 1) × π
    -0.156478881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.49159291
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328254699707031 × 2 - 1) × π
    0.343490600585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07910754734708
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49159291} λ = -0.49159291}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07910754734708))-π/2
    2×atan(2.94205273631643)-π/2
    2×1.24314859562665-π/2
    2.4862971912533-1.57079632675     		φ = 0.91550086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49159291} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.166199°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91550086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.454335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55281 KachelY 43025 -0.49159291 0.91550086 -28.166199 52.454335
    Oben rechts KachelX + 1 55282 KachelY 43025 -0.49154497 0.91550086 -28.163452 52.454335
    Unten links KachelX 55281 KachelY + 1 43026 -0.49159291 0.91547165 -28.166199 52.452662
    Unten rechts KachelX + 1 55282 KachelY + 1 43026 -0.49154497 0.91547165 -28.163452 52.452662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91550086-0.91547165) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dl = 186.096910000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91550086-0.91547165) × R
    2.92100000000017e-05 × 6371000     		dr = 186.096910000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49159291--0.49154497) × cos(0.91550086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609393536065529 × 6371000     		do = 186.124471703909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49159291--0.49154497) × cos(0.91547165) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60941669547712 × 6371000     		du = 186.131545184332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91550086)-sin(0.91547165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609393536065529-0.60941669547712)×R²
    abs(-0.49154497--0.49159291)×2.31594115901457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31594115901457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31594115901457e-05×40589641000000     		ar = 34637.8472383498m²