Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55278 / 16782
↖ ↑ ↗
← N 78.964027°
W 28.174439°		 ← 58.47 m → N 78.964027°
W 28.171692°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.963502°
W 28.174439°		 ← 58.47 m →
3 416 m²		 N 78.963502°
W 28.171692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16782 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421741485595703 y=0.128040313720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421741485595703 × 217)
    floor (0.421741485595703 × 131072)
    floor (55278.5)     		tx = 55278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128040313720703 × 217)
    floor (0.128040313720703 × 131072)
    floor (16782.5)     		ty = 16782
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55278 / 16782 ti = "17/55278/16782"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55278/16782.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55278 ÷ 217
    55278 ÷ 131072     		x = 0.421737670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16782 ÷ 217
    16782 ÷ 131072     		y = 0.128036499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421737670898438 × 2 - 1) × π
    -0.156524658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49173672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128036499023438 × 2 - 1) × π
    0.743927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33711560407622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49173672} λ = -0.49173672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33711560407622))-π/2
    2×atan(10.3513361094097)-π/2
    2×1.47448929986341-π/2
    2.94897859972681-1.57079632675     		φ = 1.37818227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49173672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.174439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37818227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.964027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55278 KachelY 16782 -0.49173672 1.37818227 -28.174439 78.964027
    Oben rechts KachelX + 1 55279 KachelY 16782 -0.49168878 1.37818227 -28.171692 78.964027
    Unten links KachelX 55278 KachelY + 1 16783 -0.49173672 1.37817310 -28.174439 78.963502
    Unten rechts KachelX + 1 55279 KachelY + 1 16783 -0.49168878 1.37817310 -28.171692 78.963502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37818227-1.37817310) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37818227-1.37817310) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49173672--0.49168878) × cos(1.37818227) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.191425261632692 × 6371000     		do = 58.4662021888878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49173672--0.49168878) × cos(1.37817310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.1914342620456 × 6371000     		du = 58.4689511466606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37818227)-sin(1.37817310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191425261632692-0.1914342620456)×R²
    abs(-0.49168878--0.49173672)×9.00041290802234e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.00041290802234e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.00041290802234e-06×40589641000000     		ar = 3415.79685682705m²