Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55271 / 16793
↖ ↑ ↗
← N 78.958243°
W 28.193664°		 ← 58.48 m → N 78.958243°
W 28.190918°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.957717°
W 28.193664°		 ← 58.49 m →
3 421 m²		 N 78.957717°
W 28.190918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421688079833984 y=0.128124237060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421688079833984 × 217)
    floor (0.421688079833984 × 131072)
    floor (55271.5)     		tx = 55271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128124237060547 × 217)
    floor (0.128124237060547 × 131072)
    floor (16793.5)     		ty = 16793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55271 / 16793 ti = "17/55271/16793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55271/16793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55271 ÷ 217
    55271 ÷ 131072     		x = 0.421684265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16793 ÷ 217
    16793 ÷ 131072     		y = 0.128120422363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421684265136719 × 2 - 1) × π
    -0.156631469726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49207227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128120422363281 × 2 - 1) × π
    0.743759155273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.3365882981804
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49207227} λ = -0.49207227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3365882981804))-π/2
    2×atan(10.3458792276989)-π/2
    2×1.47443881696702-π/2
    2.94887763393403-1.57079632675     		φ = 1.37808131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49207227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.193664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37808131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.958243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55271 KachelY 16793 -0.49207227 1.37808131 -28.193664 78.958243
    Oben rechts KachelX + 1 55272 KachelY 16793 -0.49202434 1.37808131 -28.190918 78.958243
    Unten links KachelX 55271 KachelY + 1 16794 -0.49207227 1.37807213 -28.193664 78.957717
    Unten rechts KachelX + 1 55272 KachelY + 1 16794 -0.49202434 1.37807213 -28.190918 78.957717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37808131-1.37807213) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dl = 58.4857799996306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37808131-1.37807213) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dr = 58.4857799996306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49207227--0.49202434) × cos(1.37808131) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.191524353623101 × 6371000     		do = 58.4842654167561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49207227--0.49202434) × cos(1.37807213) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.191533363673598 × 6371000     		du = 58.4870167440662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37808131)-sin(1.37807213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191524353623101-0.191533363673598)×R²
    abs(-0.49202434--0.49207227)×9.01005049686043e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.01005049686043e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.01005049686043e-06×40589641000000     		ar = 3420.57833725237m²