Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55266 / 16802
↖ ↑ ↗
← N 78.953507°
W 28.207398°		 ← 58.52 m → N 78.953507°
W 28.204651°		 →
↑
58.55 m
↓
↑
58.55 m
↓
N 78.952981°
W 28.207398°		 ← 58.52 m →
3 426 m²		 N 78.952981°
W 28.204651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421649932861328 y=0.128192901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421649932861328 × 217)
    floor (0.421649932861328 × 131072)
    floor (55266.5)     		tx = 55266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128192901611328 × 217)
    floor (0.128192901611328 × 131072)
    floor (16802.5)     		ty = 16802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55266 / 16802 ti = "17/55266/16802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55266/16802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55266 ÷ 217
    55266 ÷ 131072     		x = 0.421646118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16802 ÷ 217
    16802 ÷ 131072     		y = 0.128189086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421646118164062 × 2 - 1) × π
    -0.156707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49231196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128189086914062 × 2 - 1) × π
    0.743621826171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33615686608382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49231196} λ = -0.49231196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33615686608382))-π/2
    2×atan(10.3414166460525)-π/2
    2×1.47439749334121-π/2
    2.94879498668242-1.57079632675     		φ = 1.37799866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49231196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.207398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37799866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.953507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55266 KachelY 16802 -0.49231196 1.37799866 -28.207398 78.953507
    Oben rechts KachelX + 1 55267 KachelY 16802 -0.49226402 1.37799866 -28.204651 78.953507
    Unten links KachelX 55266 KachelY + 1 16803 -0.49231196 1.37798947 -28.207398 78.952981
    Unten rechts KachelX + 1 55267 KachelY + 1 16803 -0.49226402 1.37798947 -28.204651 78.952981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37799866-1.37798947) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dl = 58.549490000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37799866-1.37798947) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dr = 58.549490000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49231196--0.49226402) × cos(1.37799866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191605472940595 × 6371000     		do = 58.5212433608929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49231196--0.49226402) × cos(1.37798947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191614492660446 × 6371000     		du = 58.523998215503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37799866)-sin(1.37798947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191605472940595-0.191614492660446)×R²
    abs(-0.49226402--0.49231196)×9.01971985081684e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.01971985081684e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.01971985081684e-06×40589641000000     		ar = 3426.46960051526m²