Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55266 / 16801
↖ ↑ ↗
← N 78.954033°
W 28.207398°		 ← 58.52 m → N 78.954033°
W 28.204651°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.953507°
W 28.207398°		 ← 58.52 m →
3 423 m²		 N 78.953507°
W 28.204651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421649932861328 y=0.128185272216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421649932861328 × 217)
    floor (0.421649932861328 × 131072)
    floor (55266.5)     		tx = 55266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128185272216797 × 217)
    floor (0.128185272216797 × 131072)
    floor (16801.5)     		ty = 16801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55266 / 16801 ti = "17/55266/16801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55266/16801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55266 ÷ 217
    55266 ÷ 131072     		x = 0.421646118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16801 ÷ 217
    16801 ÷ 131072     		y = 0.128181457519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421646118164062 × 2 - 1) × π
    -0.156707763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49231196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128181457519531 × 2 - 1) × π
    0.743637084960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.33620480298344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49231196} λ = -0.49231196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33620480298344))-π/2
    2×atan(10.3419123933863)-π/2
    2×1.47440208571934-π/2
    2.94880417143868-1.57079632675     		φ = 1.37800784
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49231196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.207398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37800784 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.954033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55266 KachelY 16801 -0.49231196 1.37800784 -28.207398 78.954033
    Oben rechts KachelX + 1 55267 KachelY 16801 -0.49226402 1.37800784 -28.204651 78.954033
    Unten links KachelX 55266 KachelY + 1 16802 -0.49231196 1.37799866 -28.207398 78.953507
    Unten rechts KachelX + 1 55267 KachelY + 1 16802 -0.49226402 1.37799866 -28.204651 78.953507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37800784-1.37799866) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dl = 58.4857799996306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37800784-1.37799866) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dr = 58.4857799996306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49231196--0.49226402) × cos(1.37800784) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1915964630193 × 6371000     		do = 58.5184914990141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49231196--0.49226402) × cos(1.37799866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191605472940595 × 6371000     		du = 58.5212433608929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37800784)-sin(1.37799866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1915964630193-0.191605472940595)×R²
    abs(-0.49226402--0.49231196)×9.00992129504452e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.00992129504452e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.00992129504452e-06×40589641000000     		ar = 3422.58009229964m²