Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55265 / 17830
↖ ↑ ↗
← N 78.399224°
W 28.210144°		 ← 61.42 m → N 78.399224°
W 28.207398°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.398672°
W 28.210144°		 ← 61.42 m →
3 772 m²		 N 78.398672°
W 28.207398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421642303466797 y=0.136035919189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421642303466797 × 217)
    floor (0.421642303466797 × 131072)
    floor (55265.5)     		tx = 55265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.136035919189453 × 217)
    floor (0.136035919189453 × 131072)
    floor (17830.5)     		ty = 17830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55265 / 17830 ti = "17/55265/17830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55265/17830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55265 ÷ 217
    55265 ÷ 131072     		x = 0.421638488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17830 ÷ 217
    17830 ÷ 131072     		y = 0.136032104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421638488769531 × 2 - 1) × π
    -0.156723022460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.49235990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.136032104492188 × 2 - 1) × π
    0.727935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2868777332744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49235990} λ = -0.49235990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2868777332744))-π/2
    2×atan(9.84415357493752)-π/2
    2×1.46956045899181-π/2
    2.93912091798362-1.57079632675     		φ = 1.36832459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49235990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.210144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36832459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.399224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55265 KachelY 17830 -0.49235990 1.36832459 -28.210144 78.399224
    Oben rechts KachelX + 1 55266 KachelY 17830 -0.49231196 1.36832459 -28.207398 78.399224
    Unten links KachelX 55265 KachelY + 1 17831 -0.49235990 1.36831495 -28.210144 78.398672
    Unten rechts KachelX + 1 55266 KachelY + 1 17831 -0.49231196 1.36831495 -28.207398 78.398672
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36832459-1.36831495) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dl = 61.41644000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36832459-1.36831495) × R
    9.64000000003296e-06 × 6371000     		dr = 61.41644000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49235990--0.49231196) × cos(1.36832459) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201091188067172 × 6371000     		do = 61.418424922926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49235990--0.49231196) × cos(1.36831495) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.201100631136981 × 6371000     		du = 61.4213090795102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36832459)-sin(1.36831495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201091188067172-0.201100631136981)×R²
    abs(-0.49231196--0.49235990)×9.4430698087955e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.4430698087955e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.4430698087955e-06×40589641000000     		ar = 3772.18957643707m²