Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55264 / 17823
↖ ↑ ↗
← N 78.403090°
W 28.212890°		 ← 61.39 m → N 78.403090°
W 28.210144°		 →
↑
61.42 m
↓
↑
61.42 m
↓
N 78.402537°
W 28.212890°		 ← 61.39 m →
3 770 m²		 N 78.402537°
W 28.210144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421634674072266 y=0.135982513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421634674072266 × 217)
    floor (0.421634674072266 × 131072)
    floor (55264.5)     		tx = 55264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135982513427734 × 217)
    floor (0.135982513427734 × 131072)
    floor (17823.5)     		ty = 17823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55264 / 17823 ti = "17/55264/17823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55264/17823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55264 ÷ 217
    55264 ÷ 131072     		x = 0.421630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17823 ÷ 217
    17823 ÷ 131072     		y = 0.135978698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421630859375 × 2 - 1) × π
    -0.15673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49240783
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135978698730469 × 2 - 1) × π
    0.728042602539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.28721329157174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49240783} λ = -0.49240783}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28721329157174))-π/2
    2×atan(9.84745741663463)-π/2
    2×1.46959419235548-π/2
    2.93918838471097-1.57079632675     		φ = 1.36839206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49240783} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.212890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36839206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.403090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55264 KachelY 17823 -0.49240783 1.36839206 -28.212890 78.403090
    Oben rechts KachelX + 1 55265 KachelY 17823 -0.49235990 1.36839206 -28.210144 78.403090
    Unten links KachelX 55264 KachelY + 1 17824 -0.49240783 1.36838242 -28.212890 78.402537
    Unten rechts KachelX + 1 55265 KachelY + 1 17824 -0.49235990 1.36838242 -28.210144 78.402537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36839206-1.36838242) × R
    9.63999999981091e-06 × 6371000     		dl = 61.4164399987953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36839206-1.36838242) × R
    9.63999999981091e-06 × 6371000     		dr = 61.4164399987953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49240783--0.49235990) × cos(1.36839206) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.201025095851176 × 6371000     		do = 61.3854313500261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49240783--0.49235990) × cos(1.36838242) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.201034539051758 × 6371000     		du = 61.3883149449255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36839206)-sin(1.36838242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201025095851176-0.201034539051758)×R²
    abs(-0.49235990--0.49240783)×9.44320058202108e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.44320058202108e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.44320058202108e-06×40589641000000     		ar = 3770.16321157893m²