Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55258 / 16795
↖ ↑ ↗
← N 78.957190°
W 28.229370°		 ← 58.49 m → N 78.957190°
W 28.226624°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.956664°
W 28.229370°		 ← 58.49 m →
3 421 m²		 N 78.956664°
W 28.226624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421588897705078 y=0.128139495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421588897705078 × 217)
    floor (0.421588897705078 × 131072)
    floor (55258.5)     		tx = 55258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128139495849609 × 217)
    floor (0.128139495849609 × 131072)
    floor (16795.5)     		ty = 16795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55258 / 16795 ti = "17/55258/16795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55258/16795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55258 ÷ 217
    55258 ÷ 131072     		x = 0.421585083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16795 ÷ 217
    16795 ÷ 131072     		y = 0.128135681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421585083007812 × 2 - 1) × π
    -0.156829833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49269545
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128135681152344 × 2 - 1) × π
    0.743728637695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.33649242438116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49269545} λ = -0.49269545}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33649242438116))-π/2
    2×atan(10.3448873764979)-π/2
    2×1.47442963545119-π/2
    2.94885927090238-1.57079632675     		φ = 1.37806294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49269545} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.229370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37806294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.957190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55258 KachelY 16795 -0.49269545 1.37806294 -28.229370 78.957190
    Oben rechts KachelX + 1 55259 KachelY 16795 -0.49264752 1.37806294 -28.226624 78.957190
    Unten links KachelX 55258 KachelY + 1 16796 -0.49269545 1.37805376 -28.229370 78.956664
    Unten rechts KachelX + 1 55259 KachelY + 1 16796 -0.49264752 1.37805376 -28.226624 78.956664
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37806294-1.37805376) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dl = 58.4857799996306m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37806294-1.37805376) × R
    9.17999999994201e-06 × 6371000     		dr = 58.4857799996306m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49269545--0.49264752) × cos(1.37806294) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.191542383522797 × 6371000     		do = 58.489771063528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49269545--0.49264752) × cos(1.37805376) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.191551393540994 × 6371000     		du = 58.4925223809749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37806294)-sin(1.37805376))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191542383522797-0.191551393540994)×R²
    abs(-0.49264752--0.49269545)×9.01001819655911e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.01001819655911e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.01001819655911e-06×40589641000000     		ar = 3420.90033910518m²