Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55247 / 42799
↖ ↑ ↗
← N 52.830980°
W 28.259583°		 ← 184.53 m → N 52.830980°
W 28.256836°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.829321°
W 28.259583°		 ← 184.54 m →
34 047 m²		 N 52.829321°
W 28.256836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421504974365234 y=0.326534271240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421504974365234 × 217)
    floor (0.421504974365234 × 131072)
    floor (55247.5)     		tx = 55247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326534271240234 × 217)
    floor (0.326534271240234 × 131072)
    floor (42799.5)     		ty = 42799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55247 / 42799 ti = "17/55247/42799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55247/42799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55247 ÷ 217
    55247 ÷ 131072     		x = 0.421501159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42799 ÷ 217
    42799 ÷ 131072     		y = 0.326530456542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421501159667969 × 2 - 1) × π
    -0.156997680664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.49322276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326530456542969 × 2 - 1) × π
    0.346939086914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.08994128666122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49322276} λ = -0.49322276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08994128666122))-π/2
    2×atan(2.97409944812825)-π/2
    2×1.24643544038188-π/2
    2.49287088076376-1.57079632675     		φ = 0.92207455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49322276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.259583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92207455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.830980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55247 KachelY 42799 -0.49322276 0.92207455 -28.259583 52.830980
    Oben rechts KachelX + 1 55248 KachelY 42799 -0.49317482 0.92207455 -28.256836 52.830980
    Unten links KachelX 55247 KachelY + 1 42800 -0.49322276 0.92204559 -28.259583 52.829321
    Unten rechts KachelX + 1 55248 KachelY + 1 42800 -0.49317482 0.92204559 -28.256836 52.829321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92207455-0.92204559) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dl = 184.504160000496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92207455-0.92204559) × R
    2.89600000000778e-05 × 6371000     		dr = 184.504160000496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49322276--0.49317482) × cos(0.92207455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604168338835404 × 6371000     		do = 184.528561973253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49322276--0.49317482) × cos(0.92204559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604191415552408 × 6371000     		du = 184.535610196621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92207455)-sin(0.92204559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604168338835404-0.604191415552408)×R²
    abs(-0.49317482--0.49322276)×2.30767170037449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30767170037449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30767170037449e-05×40589641000000     		ar = 34046.9375386248m²