Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55246 / 42922
↖ ↑ ↗
← N 52.626395°
W 28.262329°		 ← 185.40 m → N 52.626395°
W 28.259583°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
N 52.624727°
W 28.262329°		 ← 185.40 m →
34 372 m²		 N 52.624727°
W 28.259583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421497344970703 y=0.327472686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421497344970703 × 217)
    floor (0.421497344970703 × 131072)
    floor (55246.5)     		tx = 55246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327472686767578 × 217)
    floor (0.327472686767578 × 131072)
    floor (42922.5)     		ty = 42922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55246 / 42922 ti = "17/55246/42922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55246/42922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55246 ÷ 217
    55246 ÷ 131072     		x = 0.421493530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42922 ÷ 217
    42922 ÷ 131072     		y = 0.327468872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421493530273438 × 2 - 1) × π
    -0.157012939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49327070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327468872070312 × 2 - 1) × π
    0.345062255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08404504800795
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49327070} λ = -0.49327070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08404504800795))-π/2
    2×atan(2.95661504476567)-π/2
    2×1.24465009291032-π/2
    2.48930018582063-1.57079632675     		φ = 0.91850386
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49327070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.262329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91850386 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.626395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55246 KachelY 42922 -0.49327070 0.91850386 -28.262329 52.626395
    Oben rechts KachelX + 1 55247 KachelY 42922 -0.49322276 0.91850386 -28.259583 52.626395
    Unten links KachelX 55246 KachelY + 1 42923 -0.49327070 0.91847476 -28.262329 52.624727
    Unten rechts KachelX + 1 55247 KachelY + 1 42923 -0.49322276 0.91847476 -28.259583 52.624727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91850386-0.91847476) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dl = 185.396100000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91850386-0.91847476) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dr = 185.396100000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49327070--0.49322276) × cos(0.91850386) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60700980956282 × 6371000     		do = 185.396420273077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49327070--0.49322276) × cos(0.91847476) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607032934911046 × 6371000     		du = 185.403483349671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91850386)-sin(0.91847476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60700980956282-0.607032934911046)×R²
    abs(-0.49322276--0.49327070)×2.31253482260163e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31253482260163e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31253482260163e-05×40589641000000     		ar = 34372.428008551m²