Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55245 / 18797
↖ ↑ ↗
← N 77.852834°
W 28.265075°		 ← 64.26 m → N 77.852834°
W 28.262329°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.852256°
W 28.265075°		 ← 64.26 m →
4 131 m²		 N 77.852256°
W 28.262329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421489715576172 y=0.143413543701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421489715576172 × 217)
    floor (0.421489715576172 × 131072)
    floor (55245.5)     		tx = 55245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143413543701172 × 217)
    floor (0.143413543701172 × 131072)
    floor (18797.5)     		ty = 18797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55245 / 18797 ti = "17/55245/18797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55245/18797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55245 ÷ 217
    55245 ÷ 131072     		x = 0.421485900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18797 ÷ 217
    18797 ÷ 131072     		y = 0.143409729003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421485900878906 × 2 - 1) × π
    -0.157028198242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.49331863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143409729003906 × 2 - 1) × π
    0.713180541992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.2405227513418
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49331863} λ = -0.49331863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2405227513418))-π/2
    2×atan(9.39824294765394)-π/2
    2×1.46479230254344-π/2
    2.92958460508688-1.57079632675     		φ = 1.35878828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49331863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.265075°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35878828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.852834°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55245 KachelY 18797 -0.49331863 1.35878828 -28.265075 77.852834
    Oben rechts KachelX + 1 55246 KachelY 18797 -0.49327070 1.35878828 -28.262329 77.852834
    Unten links KachelX 55245 KachelY + 1 18798 -0.49331863 1.35877819 -28.265075 77.852256
    Unten rechts KachelX + 1 55246 KachelY + 1 18798 -0.49327070 1.35877819 -28.262329 77.852256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35878828-1.35877819) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35878828-1.35877819) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49331863--0.49327070) × cos(1.35878828) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.210423410088601 × 6371000     		do = 64.2553196641427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49331863--0.49327070) × cos(1.35877819) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.21043327416628 × 6371000     		du = 64.2583317789268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35878828)-sin(1.35877819))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210423410088601-0.21043327416628)×R²
    abs(-0.49327070--0.49331863)×9.86407767891717e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.86407767891717e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.86407767891717e-06×40589641000000     		ar = 4130.6465879241m²