Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55244 / 16804
↖ ↑ ↗
← N 78.952455°
W 28.267822°		 ← 58.53 m → N 78.952455°
W 28.265075°		 →
↑
58.55 m
↓
↑
58.55 m
↓
N 78.951928°
W 28.267822°		 ← 58.53 m →
3 427 m²		 N 78.951928°
W 28.265075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421482086181641 y=0.128208160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421482086181641 × 217)
    floor (0.421482086181641 × 131072)
    floor (55244.5)     		tx = 55244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128208160400391 × 217)
    floor (0.128208160400391 × 131072)
    floor (16804.5)     		ty = 16804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55244 / 16804 ti = "17/55244/16804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55244/16804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55244 ÷ 217
    55244 ÷ 131072     		x = 0.421478271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16804 ÷ 217
    16804 ÷ 131072     		y = 0.128204345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421478271484375 × 2 - 1) × π
    -0.15704345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49336657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128204345703125 × 2 - 1) × π
    0.74359130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33606099228458
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49336657} λ = -0.49336657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33606099228458))-π/2
    2×atan(10.3404252226756)-π/2
    2×1.47438830793673-π/2
    2.94877661587346-1.57079632675     		φ = 1.37798029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49336657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.267822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37798029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.952455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55244 KachelY 16804 -0.49336657 1.37798029 -28.267822 78.952455
    Oben rechts KachelX + 1 55245 KachelY 16804 -0.49331863 1.37798029 -28.265075 78.952455
    Unten links KachelX 55244 KachelY + 1 16805 -0.49336657 1.37797110 -28.267822 78.951928
    Unten rechts KachelX + 1 55245 KachelY + 1 16805 -0.49331863 1.37797110 -28.265075 78.951928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37798029-1.37797110) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dl = 58.549490000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37798029-1.37797110) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dr = 58.549490000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49336657--0.49331863) × cos(1.37798029) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.191623502549429 × 6371000     		do = 58.5267500675805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49336657--0.49331863) × cos(1.37797110) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19163252223693 × 6371000     		du = 58.5295049123103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37798029)-sin(1.37797110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191623502549429-0.19163252223693)×R²
    abs(-0.49331863--0.49336657)×9.01968750163795e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.01968750163795e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.01968750163795e-06×40589641000000     		ar = 3426.79201520921m²