Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55242 / 18810
↖ ↑ ↗
← N 77.845318°
W 28.273315°		 ← 64.29 m → N 77.845318°
W 28.270569°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.844740°
W 28.273315°		 ← 64.30 m →
4 137 m²		 N 77.844740°
W 28.270569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18810 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421466827392578 y=0.143512725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421466827392578 × 217)
    floor (0.421466827392578 × 131072)
    floor (55242.5)     		tx = 55242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143512725830078 × 217)
    floor (0.143512725830078 × 131072)
    floor (18810.5)     		ty = 18810
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55242 / 18810 ti = "17/55242/18810"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55242/18810.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55242 ÷ 217
    55242 ÷ 131072     		x = 0.421463012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18810 ÷ 217
    18810 ÷ 131072     		y = 0.143508911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421463012695312 × 2 - 1) × π
    -0.157073974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49346244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143508911132812 × 2 - 1) × π
    0.712982177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23989957164674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49346244} λ = -0.49346244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23989957164674))-π/2
    2×atan(9.3923879780183)-π/2
    2×1.46472671676856-π/2
    2.92945343353712-1.57079632675     		φ = 1.35865711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49346244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.273315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35865711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.845318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55242 KachelY 18810 -0.49346244 1.35865711 -28.273315 77.845318
    Oben rechts KachelX + 1 55243 KachelY 18810 -0.49341451 1.35865711 -28.270569 77.845318
    Unten links KachelX 55242 KachelY + 1 18811 -0.49346244 1.35864701 -28.273315 77.844740
    Unten rechts KachelX + 1 55243 KachelY + 1 18811 -0.49341451 1.35864701 -28.270569 77.844740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35865711-1.35864701) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dl = 64.3470999993747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35865711-1.35864701) × R
    1.00999999999019e-05 × 6371000     		dr = 64.3470999993747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49346244--0.49341451) × cos(1.35865711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210551641427083 × 6371000     		do = 64.2944766460455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49346244--0.49341451) × cos(1.35864701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21056151500198 × 6371000     		du = 64.2974916609195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35865711)-sin(1.35864701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210551641427083-0.21056151500198)×R²
    abs(-0.49341451--0.49346244)×9.87357489709573e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.87357489709573e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.87357489709573e-06×40589641000000     		ar = 4137.26012188262m²