Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55240 / 17593
↖ ↑ ↗
← N 78.529397°
W 28.278809°		 ← 60.74 m → N 78.529397°
W 28.276062°		 →
↑
60.72 m
↓
↑
60.72 m
↓
N 78.528851°
W 28.278809°		 ← 60.74 m →
3 688 m²		 N 78.528851°
W 28.276062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421451568603516 y=0.134227752685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421451568603516 × 217)
    floor (0.421451568603516 × 131072)
    floor (55240.5)     		tx = 55240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134227752685547 × 217)
    floor (0.134227752685547 × 131072)
    floor (17593.5)     		ty = 17593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55240 / 17593 ti = "17/55240/17593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55240/17593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55240 ÷ 217
    55240 ÷ 131072     		x = 0.42144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17593 ÷ 217
    17593 ÷ 131072     		y = 0.134223937988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42144775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1571044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49355832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134223937988281 × 2 - 1) × π
    0.731552124023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.29823877848435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49355832} λ = -0.49355832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29823877848435))-π/2
    2×atan(9.95663117046098)-π/2
    2×1.47069642823221-π/2
    2.94139285646442-1.57079632675     		φ = 1.37059653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49355832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.278809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37059653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.529397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55240 KachelY 17593 -0.49355832 1.37059653 -28.278809 78.529397
    Oben rechts KachelX + 1 55241 KachelY 17593 -0.49351038 1.37059653 -28.276062 78.529397
    Unten links KachelX 55240 KachelY + 1 17594 -0.49355832 1.37058700 -28.278809 78.528851
    Unten rechts KachelX + 1 55241 KachelY + 1 17594 -0.49351038 1.37058700 -28.276062 78.528851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37059653-1.37058700) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dl = 60.7156300002252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37059653-1.37058700) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dr = 60.7156300002252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49355832--0.49351038) × cos(1.37059653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19886514098948 × 6371000     		do = 60.7385328468764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49355832--0.49351038) × cos(1.37058700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198874480636471 × 6371000     		du = 60.7413854154699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37059653)-sin(1.37058700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19886514098948-0.198874480636471)×R²
    abs(-0.49351038--0.49355832)×9.33964699073586e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.33964699073586e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.33964699073586e-06×40589641000000     		ar = 3687.86488483835m²