Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55239 / 18244
↖ ↑ ↗
← N 78.168330°
W 28.281555°		 ← 62.62 m → N 78.168330°
W 28.278809°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.167767°
W 28.281555°		 ← 62.63 m →
3 922 m²		 N 78.167767°
W 28.278809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421443939208984 y=0.139194488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421443939208984 × 217)
    floor (0.421443939208984 × 131072)
    floor (55239.5)     		tx = 55239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139194488525391 × 217)
    floor (0.139194488525391 × 131072)
    floor (18244.5)     		ty = 18244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55239 / 18244 ti = "17/55239/18244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55239/18244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55239 ÷ 217
    55239 ÷ 131072     		x = 0.421440124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18244 ÷ 217
    18244 ÷ 131072     		y = 0.139190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421440124511719 × 2 - 1) × π
    -0.157119750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49360626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139190673828125 × 2 - 1) × π
    0.72161865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2670318568317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49360626} λ = -0.49360626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2670318568317))-π/2
    2×atan(9.65071356167031)-π/2
    2×1.46754552678058-π/2
    2.93509105356116-1.57079632675     		φ = 1.36429473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49360626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.281555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36429473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.168330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55239 KachelY 18244 -0.49360626 1.36429473 -28.281555 78.168330
    Oben rechts KachelX + 1 55240 KachelY 18244 -0.49355832 1.36429473 -28.278809 78.168330
    Unten links KachelX 55239 KachelY + 1 18245 -0.49360626 1.36428490 -28.281555 78.167767
    Unten rechts KachelX + 1 55240 KachelY + 1 18245 -0.49355832 1.36428490 -28.278809 78.167767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36429473-1.36428490) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dl = 62.6269299999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36429473-1.36428490) × R
    9.82999999998846e-06 × 6371000     		dr = 62.6269299999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49360626--0.49355832) × cos(1.36429473) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205037084687805 × 6371000     		do = 62.6236033182469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49360626--0.49355832) × cos(1.36428490) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.205046705831734 × 6371000     		du = 62.6265418632511m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36429473)-sin(1.36428490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205037084687805-0.205046705831734)×R²
    abs(-0.49355832--0.49360626)×9.62114392921709e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.62114392921709e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.62114392921709e-06×40589641000000     		ar = 3922.01603745163m²