Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55238 / 17110
↖ ↑ ↗
← N 78.790240°
W 28.284302°		 ← 59.36 m → N 78.790240°
W 28.281555°		 →
↑
59.38 m
↓
↑
59.38 m
↓
N 78.789706°
W 28.284302°		 ← 59.37 m →
3 525 m²		 N 78.789706°
W 28.281555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421436309814453 y=0.130542755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421436309814453 × 217)
    floor (0.421436309814453 × 131072)
    floor (55238.5)     		tx = 55238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130542755126953 × 217)
    floor (0.130542755126953 × 131072)
    floor (17110.5)     		ty = 17110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55238 / 17110 ti = "17/55238/17110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55238/17110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55238 ÷ 217
    55238 ÷ 131072     		x = 0.421432495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17110 ÷ 217
    17110 ÷ 131072     		y = 0.130538940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421432495117188 × 2 - 1) × π
    -0.157135009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.49365419
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130538940429688 × 2 - 1) × π
    0.738922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32139230100084
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49365419} λ = -0.49365419}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32139230100084))-π/2
    2×atan(10.1898517749557)-π/2
    2×1.47297271117773-π/2
    2.94594542235545-1.57079632675     		φ = 1.37514910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49365419} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.284302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37514910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.790240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55238 KachelY 17110 -0.49365419 1.37514910 -28.284302 78.790240
    Oben rechts KachelX + 1 55239 KachelY 17110 -0.49360626 1.37514910 -28.281555 78.790240
    Unten links KachelX 55238 KachelY + 1 17111 -0.49365419 1.37513978 -28.284302 78.789706
    Unten rechts KachelX + 1 55239 KachelY + 1 17111 -0.49360626 1.37513978 -28.281555 78.789706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37514910-1.37513978) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dl = 59.3777199998684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37514910-1.37513978) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dr = 59.3777199998684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49365419--0.49360626) × cos(1.37514910) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.19440145467225 × 6371000     		do = 59.3628228336389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49365419--0.49360626) × cos(1.37513978) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.194410596857343 × 6371000     		du = 59.3656145098374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37514910)-sin(1.37513978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19440145467225-0.194410596857343)×R²
    abs(-0.49360626--0.49365419)×9.14218509243114e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.14218509243114e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.14218509243114e-06×40589641000000     		ar = 3524.91195435331m²