Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55236 / 42940
↖ ↑ ↗
← N 52.596375°
W 28.289795°		 ← 185.52 m → N 52.596375°
W 28.287048°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.594706°
W 28.289795°		 ← 185.53 m →
34 420 m²		 N 52.594706°
W 28.287048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55236 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421421051025391 y=0.327610015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421421051025391 × 217)
    floor (0.421421051025391 × 131072)
    floor (55236.5)     		tx = 55236
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327610015869141 × 217)
    floor (0.327610015869141 × 131072)
    floor (42940.5)     		ty = 42940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55236 / 42940 ti = "17/55236/42940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55236/42940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55236 ÷ 217
    55236 ÷ 131072     		x = 0.421417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42940 ÷ 217
    42940 ÷ 131072     		y = 0.327606201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.15716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49375007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327606201171875 × 2 - 1) × π
    0.34478759765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08318218381479
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49375007} λ = -0.49375007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08318218381479))-π/2
    2×atan(2.9540649878452)-π/2
    2×1.24438811959815-π/2
    2.4887762391963-1.57079632675     		φ = 0.91797991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49375007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.289795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91797991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.596375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55236 KachelY 42940 -0.49375007 0.91797991 -28.289795 52.596375
    Oben rechts KachelX + 1 55237 KachelY 42940 -0.49370213 0.91797991 -28.287048 52.596375
    Unten links KachelX 55236 KachelY + 1 42941 -0.49375007 0.91795079 -28.289795 52.594706
    Unten rechts KachelX + 1 55237 KachelY + 1 42941 -0.49370213 0.91795079 -28.287048 52.594706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91797991-0.91795079) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91797991-0.91795079) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49375007--0.49370213) × cos(0.91797991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607426106322987 × 6371000     		do = 185.523568018895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49375007--0.49370213) × cos(0.91795079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.607449238299988 × 6371000     		du = 185.530633120088m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91797991)-sin(0.91795079))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607426106322987-0.607449238299988)×R²
    abs(-0.49370213--0.49375007)×2.31319770008787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31319770008787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31319770008787e-05×40589641000000     		ar = 34419.6407554344m²