Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55235 / 42942
↖ ↑ ↗
← N 52.593038°
W 28.292541°		 ← 185.50 m → N 52.593038°
W 28.289795°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.591369°
W 28.292541°		 ← 185.51 m →
34 415 m²		 N 52.591369°
W 28.289795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42942 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421413421630859 y=0.327625274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421413421630859 × 217)
    floor (0.421413421630859 × 131072)
    floor (55235.5)     		tx = 55235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327625274658203 × 217)
    floor (0.327625274658203 × 131072)
    floor (42942.5)     		ty = 42942
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55235 / 42942 ti = "17/55235/42942"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55235/42942.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55235 ÷ 217
    55235 ÷ 131072     		x = 0.421409606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42942 ÷ 217
    42942 ÷ 131072     		y = 0.327621459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421409606933594 × 2 - 1) × π
    -0.157180786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.49379800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327621459960938 × 2 - 1) × π
    0.344757080078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08308631001555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49379800} λ = -0.49379800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08308631001555))-π/2
    2×atan(2.95378178398774)-π/2
    2×1.24435900036513-π/2
    2.48871800073026-1.57079632675     		φ = 0.91792167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49379800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.292541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91792167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.593038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55235 KachelY 42942 -0.49379800 0.91792167 -28.292541 52.593038
    Oben rechts KachelX + 1 55236 KachelY 42942 -0.49375007 0.91792167 -28.289795 52.593038
    Unten links KachelX 55235 KachelY + 1 42943 -0.49379800 0.91789255 -28.292541 52.591369
    Unten rechts KachelX + 1 55236 KachelY + 1 42943 -0.49375007 0.91789255 -28.289795 52.591369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91792167-0.91789255) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91792167-0.91789255) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49379800--0.49375007) × cos(0.91792167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607472369761887 × 6371000     		do = 185.498995999514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49379800--0.49375007) × cos(0.91789255) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.607495500708666 × 6371000     		du = 185.506059312378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91792167)-sin(0.91789255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607472369761887-0.607495500708666)×R²
    abs(-0.49375007--0.49379800)×2.31309467784158e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31309467784158e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31309467784158e-05×40589641000000     		ar = 34415.0819018581m²