Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55233 / 42939
↖ ↑ ↗
← N 52.598043°
W 28.298035°		 ← 185.52 m → N 52.598043°
W 28.295288°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.596375°
W 28.298035°		 ← 185.52 m →
34 418 m²		 N 52.596375°
W 28.295288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55233 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42939 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421398162841797 y=0.327602386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421398162841797 × 217)
    floor (0.421398162841797 × 131072)
    floor (55233.5)     		tx = 55233
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327602386474609 × 217)
    floor (0.327602386474609 × 131072)
    floor (42939.5)     		ty = 42939
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55233 / 42939 ti = "17/55233/42939"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55233/42939.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55233 ÷ 217
    55233 ÷ 131072     		x = 0.421394348144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42939 ÷ 217
    42939 ÷ 131072     		y = 0.327598571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421394348144531 × 2 - 1) × π
    -0.157211303710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.49389388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327598571777344 × 2 - 1) × π
    0.344802856445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08323012071441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49389388} λ = -0.49389388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08323012071441))-π/2
    2×atan(2.95420659995619)-π/2
    2×1.24440267838305-π/2
    2.48880535676609-1.57079632675     		φ = 0.91800903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49389388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.298035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91800903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.598043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55233 KachelY 42939 -0.49389388 0.91800903 -28.298035 52.598043
    Oben rechts KachelX + 1 55234 KachelY 42939 -0.49384594 0.91800903 -28.295288 52.598043
    Unten links KachelX 55233 KachelY + 1 42940 -0.49389388 0.91797991 -28.298035 52.596375
    Unten rechts KachelX + 1 55234 KachelY + 1 42940 -0.49384594 0.91797991 -28.295288 52.596375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91800903-0.91797991) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91800903-0.91797991) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49389388--0.49384594) × cos(0.91800903) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607402973830904 × 6371000     		do = 185.516502760598m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49389388--0.49384594) × cos(0.91797991) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607426106322987 × 6371000     		du = 185.52356801911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91800903)-sin(0.91797991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607402973830904-0.607426106322987)×R²
    abs(-0.49384594--0.49389388)×2.31324920826337e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31324920826337e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31324920826337e-05×40589641000000     		ar = 34418.3299985517m²