Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55230 / 16735
↖ ↑ ↗
← N 78.988711°
W 28.306275°		 ← 58.34 m → N 78.988711°
W 28.303528°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 78.988187°
W 28.306275°		 ← 58.34 m →
3 401 m²		 N 78.988187°
W 28.303528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421375274658203 y=0.127681732177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421375274658203 × 217)
    floor (0.421375274658203 × 131072)
    floor (55230.5)     		tx = 55230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127681732177734 × 217)
    floor (0.127681732177734 × 131072)
    floor (16735.5)     		ty = 16735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55230 / 16735 ti = "17/55230/16735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55230/16735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55230 ÷ 217
    55230 ÷ 131072     		x = 0.421371459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16735 ÷ 217
    16735 ÷ 131072     		y = 0.127677917480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421371459960938 × 2 - 1) × π
    -0.157257080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49403769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127677917480469 × 2 - 1) × π
    0.744644165039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.33936863835836
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49403769} λ = -0.49403769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33936863835836))-π/2
    2×atan(10.3746843168094)-π/2
    2×1.47470470543353-π/2
    2.94940941086707-1.57079632675     		φ = 1.37861308
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49403769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.306275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37861308 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.988711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55230 KachelY 16735 -0.49403769 1.37861308 -28.306275 78.988711
    Oben rechts KachelX + 1 55231 KachelY 16735 -0.49398975 1.37861308 -28.303528 78.988711
    Unten links KachelX 55230 KachelY + 1 16736 -0.49403769 1.37860393 -28.306275 78.988187
    Unten rechts KachelX + 1 55231 KachelY + 1 16736 -0.49398975 1.37860393 -28.303528 78.988187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37861308-1.37860393) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dl = 58.2946500007921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37861308-1.37860393) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dr = 58.2946500007921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49403769--0.49398975) × cos(1.37861308) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191002400768108 × 6371000     		do = 58.3370495963376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49403769--0.49398975) × cos(1.37860393) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191011382304673 × 6371000     		du = 58.3397927887893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37861308)-sin(1.37860393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191002400768108-0.191011382304673)×R²
    abs(-0.49398975--0.49403769)×8.98153656508915e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.98153656508915e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.98153656508915e-06×40589641000000     		ar = 3400.81784507304m²