Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55227 / 16726
↖ ↑ ↗
← N 78.993432°
W 28.314514°		 ← 58.31 m → N 78.993432°
W 28.311768°		 →
↑
58.29 m
↓
↑
58.29 m
↓
N 78.992907°
W 28.314514°		 ← 58.32 m →
3 399 m²		 N 78.992907°
W 28.311768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421352386474609 y=0.127613067626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421352386474609 × 217)
    floor (0.421352386474609 × 131072)
    floor (55227.5)     		tx = 55227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127613067626953 × 217)
    floor (0.127613067626953 × 131072)
    floor (16726.5)     		ty = 16726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55227 / 16726 ti = "17/55227/16726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55227/16726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55227 ÷ 217
    55227 ÷ 131072     		x = 0.421348571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16726 ÷ 217
    16726 ÷ 131072     		y = 0.127609252929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421348571777344 × 2 - 1) × π
    -0.157302856445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49418150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127609252929688 × 2 - 1) × π
    0.744781494140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33980007045494
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49418150} λ = -0.49418150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33980007045494))-π/2
    2×atan(10.3791612542934)-π/2
    2×1.4747458989926-π/2
    2.9494917979852-1.57079632675     		φ = 1.37869547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49418150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.314514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37869547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.993432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55227 KachelY 16726 -0.49418150 1.37869547 -28.314514 78.993432
    Oben rechts KachelX + 1 55228 KachelY 16726 -0.49413356 1.37869547 -28.311768 78.993432
    Unten links KachelX 55227 KachelY + 1 16727 -0.49418150 1.37868632 -28.314514 78.992907
    Unten rechts KachelX + 1 55228 KachelY + 1 16727 -0.49413356 1.37868632 -28.311768 78.992907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37869547-1.37868632) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dl = 58.2946500007921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37869547-1.37868632) × R
    9.15000000012434e-06 × 6371000     		dr = 58.2946500007921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49418150--0.49413356) × cos(1.37869547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190921526955297 × 6371000     		do = 58.3123486522134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49418150--0.49413356) × cos(1.37868632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.190930508635826 × 6371000     		du = 58.3150918886353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37869547)-sin(1.37868632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190921526955297-0.190930508635826)×R²
    abs(-0.49413356--0.49418150)×8.9816805286802e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.9816805286802e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.9816805286802e-06×40589641000000     		ar = 3399.3779134553m²