Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55225 / 16809
↖ ↑ ↗
← N 78.949823°
W 28.320007°		 ← 58.53 m → N 78.949823°
W 28.317261°		 →
↑
58.49 m
↓
↑
58.49 m
↓
N 78.949297°
W 28.320007°		 ← 58.53 m →
3 423 m²		 N 78.949297°
W 28.317261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421337127685547 y=0.128246307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421337127685547 × 217)
    floor (0.421337127685547 × 131072)
    floor (55225.5)     		tx = 55225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128246307373047 × 217)
    floor (0.128246307373047 × 131072)
    floor (16809.5)     		ty = 16809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55225 / 16809 ti = "17/55225/16809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55225/16809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55225 ÷ 217
    55225 ÷ 131072     		x = 0.421333312988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16809 ÷ 217
    16809 ÷ 131072     		y = 0.128242492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421333312988281 × 2 - 1) × π
    -0.157333374023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.49427737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128242492675781 × 2 - 1) × π
    0.743515014648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.33582130778648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49427737} λ = -0.49427737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33582130778648))-π/2
    2×atan(10.337947080044)-π/2
    2×1.47436534064377-π/2
    2.94873068128755-1.57079632675     		φ = 1.37793435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49427737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.320007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37793435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.949823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55225 KachelY 16809 -0.49427737 1.37793435 -28.320007 78.949823
    Oben rechts KachelX + 1 55226 KachelY 16809 -0.49422944 1.37793435 -28.317261 78.949823
    Unten links KachelX 55225 KachelY + 1 16810 -0.49427737 1.37792517 -28.320007 78.949297
    Unten rechts KachelX + 1 55226 KachelY + 1 16810 -0.49422944 1.37792517 -28.317261 78.949297
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37793435-1.37792517) × R
    9.18000000016406e-06 × 6371000     		dl = 58.4857800010452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37793435-1.37792517) × R
    9.18000000016406e-06 × 6371000     		dr = 58.4857800010452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49427737--0.49422944) × cos(1.37793435) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.191668591010486 × 6371000     		do = 58.5283100381699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49427737--0.49422944) × cos(1.37792517) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.191677600802496 × 6371000     		du = 58.5310612865478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37793435)-sin(1.37792517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191668591010486-0.191677600802496)×R²
    abs(-0.49422944--0.49427737)×9.0097920095733e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.0097920095733e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.0097920095733e-06×40589641000000     		ar = 3423.15431924442m²