Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55224 / 16807
↖ ↑ ↗
← N 78.950876°
W 28.322754°		 ← 58.54 m → N 78.950876°
W 28.320007°		 →
↑
58.55 m
↓
↑
58.55 m
↓
N 78.950349°
W 28.322754°		 ← 58.54 m →
3 427 m²		 N 78.950349°
W 28.320007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421329498291016 y=0.128231048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421329498291016 × 217)
    floor (0.421329498291016 × 131072)
    floor (55224.5)     		tx = 55224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128231048583984 × 217)
    floor (0.128231048583984 × 131072)
    floor (16807.5)     		ty = 16807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55224 / 16807 ti = "17/55224/16807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55224/16807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55224 ÷ 217
    55224 ÷ 131072     		x = 0.42132568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16807 ÷ 217
    16807 ÷ 131072     		y = 0.128227233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42132568359375 × 2 - 1) × π
    -0.1573486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49432531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128227233886719 × 2 - 1) × π
    0.743545532226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.33591718158572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49432531} λ = -0.49432531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33591718158572))-π/2
    2×atan(10.3389382658205)-π/2
    2×1.4743745282093-π/2
    2.94874905641861-1.57079632675     		φ = 1.37795273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49432531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.322754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37795273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.950876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55224 KachelY 16807 -0.49432531 1.37795273 -28.322754 78.950876
    Oben rechts KachelX + 1 55225 KachelY 16807 -0.49427737 1.37795273 -28.320007 78.950876
    Unten links KachelX 55224 KachelY + 1 16808 -0.49432531 1.37794354 -28.322754 78.950349
    Unten rechts KachelX + 1 55225 KachelY + 1 16808 -0.49427737 1.37794354 -28.320007 78.950349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37795273-1.37794354) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dl = 58.549490000658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37795273-1.37794354) × R
    9.19000000010328e-06 × 6371000     		dr = 58.549490000658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49432531--0.49427737) × cos(1.37795273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.191650551748747 × 6371000     		do = 58.5350115892986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49432531--0.49427737) × cos(1.37794354) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19165957138771 × 6371000     		du = 58.5377664192035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37795273)-sin(1.37794354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191650551748747-0.19165957138771)×R²
    abs(-0.49427737--0.49432531)×9.01963896335345e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.01963896335345e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.01963896335345e-06×40589641000000     		ar = 3427.27572268591m²