Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55223 / 17656
↖ ↑ ↗
← N 78.494935°
W 28.325501°		 ← 60.92 m → N 78.494935°
W 28.322754°		 →
↑
60.91 m
↓
↑
60.91 m
↓
N 78.494387°
W 28.325501°		 ← 60.92 m →
3 710 m²		 N 78.494387°
W 28.322754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421321868896484 y=0.134708404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421321868896484 × 217)
    floor (0.421321868896484 × 131072)
    floor (55223.5)     		tx = 55223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134708404541016 × 217)
    floor (0.134708404541016 × 131072)
    floor (17656.5)     		ty = 17656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55223 / 17656 ti = "17/55223/17656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55223/17656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55223 ÷ 217
    55223 ÷ 131072     		x = 0.421318054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17656 ÷ 217
    17656 ÷ 131072     		y = 0.13470458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421318054199219 × 2 - 1) × π
    -0.157363891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.49437325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13470458984375 × 2 - 1) × π
    0.7305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.29521875380829
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49437325} λ = -0.49437325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29521875380829))-π/2
    2×atan(9.92660725793362)-π/2
    2×1.4703956946114-π/2
    2.94079138922279-1.57079632675     		φ = 1.36999506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49437325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.325501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36999506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.494935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55223 KachelY 17656 -0.49437325 1.36999506 -28.325501 78.494935
    Oben rechts KachelX + 1 55224 KachelY 17656 -0.49432531 1.36999506 -28.322754 78.494935
    Unten links KachelX 55223 KachelY + 1 17657 -0.49437325 1.36998550 -28.325501 78.494387
    Unten rechts KachelX + 1 55224 KachelY + 1 17657 -0.49432531 1.36998550 -28.322754 78.494387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36999506-1.36998550) × R
    9.55999999985302e-06 × 6371000     		dl = 60.9067599990636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36999506-1.36998550) × R
    9.55999999985302e-06 × 6371000     		dr = 60.9067599990636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49437325--0.49432531) × cos(1.36999506) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199454561740963 × 6371000     		do = 60.9185571160693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49437325--0.49432531) × cos(1.36998550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199463929643496 × 6371000     		du = 60.9214183146326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36999506)-sin(1.36998550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199454561740963-0.199463929643496)×R²
    abs(-0.49432531--0.49437325)×9.36790253283637e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.36790253283637e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.36790253283637e-06×40589641000000     		ar = 3710.43907096533m²