Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55220 / 18882
↖ ↑ ↗
← N 77.803610°
W 28.333740°		 ← 64.53 m → N 77.803610°
W 28.330994°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.803030°
W 28.333740°		 ← 64.53 m →
4 164 m²		 N 77.803030°
W 28.330994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421298980712891 y=0.144062042236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421298980712891 × 217)
    floor (0.421298980712891 × 131072)
    floor (55220.5)     		tx = 55220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144062042236328 × 217)
    floor (0.144062042236328 × 131072)
    floor (18882.5)     		ty = 18882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55220 / 18882 ti = "17/55220/18882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55220/18882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55220 ÷ 217
    55220 ÷ 131072     		x = 0.421295166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18882 ÷ 217
    18882 ÷ 131072     		y = 0.144058227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421295166015625 × 2 - 1) × π
    -0.15740966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.49451706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144058227539062 × 2 - 1) × π
    0.711883544921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2364481148741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49451706} λ = -0.49451706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2364481148741))-π/2
    2×atan(9.36002643627718)-π/2
    2×1.46436274816561-π/2
    2.92872549633121-1.57079632675     		φ = 1.35792917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49451706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.333740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35792917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.803610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55220 KachelY 18882 -0.49451706 1.35792917 -28.333740 77.803610
    Oben rechts KachelX + 1 55221 KachelY 18882 -0.49446912 1.35792917 -28.330994 77.803610
    Unten links KachelX 55220 KachelY + 1 18883 -0.49451706 1.35791904 -28.333740 77.803030
    Unten rechts KachelX + 1 55221 KachelY + 1 18883 -0.49446912 1.35791904 -28.330994 77.803030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35792917-1.35791904) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35792917-1.35791904) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49451706--0.49446912) × cos(1.35792917) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.211263207155989 × 6371000     		do = 64.5252213804236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49451706--0.49446912) × cos(1.35791904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.211273108503029 × 6371000     		du = 64.5282455066705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35792917)-sin(1.35791904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211263207155989-0.211273108503029)×R²
    abs(-0.49446912--0.49451706)×9.90134704059731e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.90134704059731e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.90134704059731e-06×40589641000000     		ar = 4164.44116419046m²