Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55214 / 18897
N 77.794904°
W 28.350220°
← 64.57 m → N 77.794904°
W 28.347473°

64.60 m

64.60 m
N 77.794323°
W 28.350220°
← 64.57 m →
4 171 m²
N 77.794323°
W 28.347473°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18897 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421253204345703 y=0.144176483154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421253204345703 × 217)
    floor (0.421253204345703 × 131072)
    floor (55214.5)
    tx = 55214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144176483154297 × 217)
    floor (0.144176483154297 × 131072)
    floor (18897.5)
    ty = 18897
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55214 / 18897 ti = "17/55214/18897"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55214/18897.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55214 ÷ 217
    55214 ÷ 131072
    x = 0.421249389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18897 ÷ 217
    18897 ÷ 131072
    y = 0.144172668457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.421249389648438 × 2 - 1) × π
    -0.157501220703125 × 3.1415926535
    Λ = -0.49480468
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.144172668457031 × 2 - 1) × π
    0.711654663085938 × 3.1415926535
    Φ = 2.2357290613798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49480468} λ = -0.49480468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2357290613798))-π/2
    2×atan(9.35329849572589)-π/2
    2×1.46428676669441-π/2
    2.92857353338881-1.57079632675
    φ = 1.35777721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49480468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.350220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35777721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.794904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55214 KachelY 18897 -0.49480468 1.35777721 -28.350220 77.794904
    Oben rechts KachelX + 1 55215 KachelY 18897 -0.49475674 1.35777721 -28.347473 77.794904
    Unten links KachelX 55214 KachelY + 1 18898 -0.49480468 1.35776707 -28.350220 77.794323
    Unten rechts KachelX + 1 55215 KachelY + 1 18898 -0.49475674 1.35776707 -28.347473 77.794323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.35777721-1.35776707) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000
    dl = 64.6019400006552m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.35777721-1.35776707) × R
    1.01400000001028e-05 × 6371000
    dr = 64.6019400006552m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49480468--0.49475674) × cos(1.35777721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.211411734858687 × 6371000
    do = 64.5705855639307m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49480468--0.49475674) × cos(1.35776707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.211421645654346 × 6371000
    du = 64.573612576029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.35777721)-sin(1.35776707))×
    abs(λ12)×abs(0.211411734858687-0.211421645654346)×
    abs(-0.49475674--0.49480468)×9.91079565929032e-06×
    4.79400000000241e-05×9.91079565929032e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.91079565929032e-06×40589641000000
    ar = 4171.48286982063m²