Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55214 / 18770
↖ ↑ ↗
← N 77.868428°
W 28.350220°		 ← 64.19 m → N 77.868428°
W 28.347473°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.867851°
W 28.350220°		 ← 64.19 m →
4 122 m²		 N 77.867851°
W 28.347473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421253204345703 y=0.143207550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421253204345703 × 217)
    floor (0.421253204345703 × 131072)
    floor (55214.5)     		tx = 55214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143207550048828 × 217)
    floor (0.143207550048828 × 131072)
    floor (18770.5)     		ty = 18770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55214 / 18770 ti = "17/55214/18770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55214/18770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55214 ÷ 217
    55214 ÷ 131072     		x = 0.421249389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18770 ÷ 217
    18770 ÷ 131072     		y = 0.143203735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421249389648438 × 2 - 1) × π
    -0.157501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49480468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143203735351562 × 2 - 1) × π
    0.713592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24181704763155
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49480468} λ = -0.49480468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24181704763155))-π/2
    2×atan(9.41041493401035)-π/2
    2×1.46492839154626-π/2
    2.92985678309253-1.57079632675     		φ = 1.35906046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49480468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.350220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35906046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.868428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55214 KachelY 18770 -0.49480468 1.35906046 -28.350220 77.868428
    Oben rechts KachelX + 1 55215 KachelY 18770 -0.49475674 1.35906046 -28.347473 77.868428
    Unten links KachelX 55214 KachelY + 1 18771 -0.49480468 1.35905038 -28.350220 77.867851
    Unten rechts KachelX + 1 55215 KachelY + 1 18771 -0.49475674 1.35905038 -28.347473 77.867851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35906046-1.35905038) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35906046-1.35905038) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49480468--0.49475674) × cos(1.35906046) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.21015731631364 × 6371000     		do = 64.1874538515399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49480468--0.49475674) × cos(1.35905038) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.210167171192198 × 6371000     		du = 64.190463785116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35906046)-sin(1.35905038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21015731631364-0.210167171192198)×R²
    abs(-0.49475674--0.49480468)×9.85487855750811e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.85487855750811e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.85487855750811e-06×40589641000000     		ar = 4122.19439474156m²