Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55214 / 16734
↖ ↑ ↗
← N 78.989236°
W 28.350220°		 ← 58.33 m → N 78.989236°
W 28.347473°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.988711°
W 28.350220°		 ← 58.34 m →
3 404 m²		 N 78.988711°
W 28.347473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421253204345703 y=0.127674102783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421253204345703 × 217)
    floor (0.421253204345703 × 131072)
    floor (55214.5)     		tx = 55214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127674102783203 × 217)
    floor (0.127674102783203 × 131072)
    floor (16734.5)     		ty = 16734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55214 / 16734 ti = "17/55214/16734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55214/16734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55214 ÷ 217
    55214 ÷ 131072     		x = 0.421249389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16734 ÷ 217
    16734 ÷ 131072     		y = 0.127670288085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421249389648438 × 2 - 1) × π
    -0.157501220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49480468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127670288085938 × 2 - 1) × π
    0.744659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33941657525798
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49480468} λ = -0.49480468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33941657525798))-π/2
    2×atan(10.3751816589305)-π/2
    2×1.47470928335719-π/2
    2.94941856671438-1.57079632675     		φ = 1.37862224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49480468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.350220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37862224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.989236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55214 KachelY 16734 -0.49480468 1.37862224 -28.350220 78.989236
    Oben rechts KachelX + 1 55215 KachelY 16734 -0.49475674 1.37862224 -28.347473 78.989236
    Unten links KachelX 55214 KachelY + 1 16735 -0.49480468 1.37861308 -28.350220 78.988711
    Unten rechts KachelX + 1 55215 KachelY + 1 16735 -0.49475674 1.37861308 -28.347473 78.988711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37862224-1.37861308) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dl = 58.358360000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37862224-1.37861308) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dr = 58.358360000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49480468--0.49475674) × cos(1.37862224) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.190993409399638 × 6371000     		do = 58.3343034010367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49480468--0.49475674) × cos(1.37861308) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.191002400768108 × 6371000     		du = 58.3370495964051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37862224)-sin(1.37861308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190993409399638-0.191002400768108)×R²
    abs(-0.49475674--0.49480468)×8.99136846940762e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.99136846940762e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.99136846940762e-06×40589641000000     		ar = 3404.37440993656m²