Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55212 / 16997
↖ ↑ ↗
← N 78.850415°
W 28.355713°		 ← 59.06 m → N 78.850415°
W 28.352966°		 →
↑
59.06 m
↓
↑
59.06 m
↓
N 78.849883°
W 28.355713°		 ← 59.06 m →
3 488 m²		 N 78.849883°
W 28.352966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421237945556641 y=0.129680633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421237945556641 × 217)
    floor (0.421237945556641 × 131072)
    floor (55212.5)     		tx = 55212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129680633544922 × 217)
    floor (0.129680633544922 × 131072)
    floor (16997.5)     		ty = 16997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55212 / 16997 ti = "17/55212/16997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55212/16997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55212 ÷ 217
    55212 ÷ 131072     		x = 0.421234130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16997 ÷ 217
    16997 ÷ 131072     		y = 0.129676818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421234130859375 × 2 - 1) × π
    -0.15753173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.49490055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129676818847656 × 2 - 1) × π
    0.740646362304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.32680917065791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49490055} λ = -0.49490055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32680917065791))-π/2
    2×atan(10.2451986418931)-π/2
    2×1.47349783838885-π/2
    2.9469956767777-1.57079632675     		φ = 1.37619935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49490055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.355713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37619935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.850415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55212 KachelY 16997 -0.49490055 1.37619935 -28.355713 78.850415
    Oben rechts KachelX + 1 55213 KachelY 16997 -0.49485261 1.37619935 -28.352966 78.850415
    Unten links KachelX 55212 KachelY + 1 16998 -0.49490055 1.37619008 -28.355713 78.849883
    Unten rechts KachelX + 1 55213 KachelY + 1 16998 -0.49485261 1.37619008 -28.352966 78.849883
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37619935-1.37619008) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dl = 59.0591700003897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37619935-1.37619008) × R
    9.27000000006117e-06 × 6371000     		dr = 59.0591700003897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49490055--0.49485261) × cos(1.37619935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193371134260458 × 6371000     		do = 59.060521776101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49490055--0.49485261) × cos(1.37619008) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193380229287224 × 6371000     		du = 59.0632996313814m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37619935)-sin(1.37619008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193371134260458-0.193380229287224)×R²
    abs(-0.49485261--0.49490055)×9.09502676621488e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.09502676621488e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.09502676621488e-06×40589641000000     		ar = 3488.14742478785m²