Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55211 / 18875
↖ ↑ ↗
← N 77.807671°
W 28.358460°		 ← 64.50 m → N 77.807671°
W 28.355713°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.807091°
W 28.358460°		 ← 64.51 m →
4 163 m²		 N 77.807091°
W 28.355713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421230316162109 y=0.144008636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421230316162109 × 217)
    floor (0.421230316162109 × 131072)
    floor (55211.5)     		tx = 55211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144008636474609 × 217)
    floor (0.144008636474609 × 131072)
    floor (18875.5)     		ty = 18875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55211 / 18875 ti = "17/55211/18875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55211/18875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55211 ÷ 217
    55211 ÷ 131072     		x = 0.421226501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18875 ÷ 217
    18875 ÷ 131072     		y = 0.144004821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421226501464844 × 2 - 1) × π
    -0.157546997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49494849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144004821777344 × 2 - 1) × π
    0.711990356445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.23678367317144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49494849} λ = -0.49494849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23678367317144))-π/2
    2×atan(9.36316779783669)-π/2
    2×1.46439818791453-π/2
    2.92879637582907-1.57079632675     		φ = 1.35800005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49494849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.358460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35800005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.807671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55211 KachelY 18875 -0.49494849 1.35800005 -28.358460 77.807671
    Oben rechts KachelX + 1 55212 KachelY 18875 -0.49490055 1.35800005 -28.355713 77.807671
    Unten links KachelX 55211 KachelY + 1 18876 -0.49494849 1.35798992 -28.358460 77.807091
    Unten rechts KachelX + 1 55212 KachelY + 1 18876 -0.49490055 1.35798992 -28.355713 77.807091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35800005-1.35798992) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35800005-1.35798992) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49494849--0.49490055) × cos(1.35800005) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.21119392644307 × 6371000     		do = 64.5040612674125m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49494849--0.49490055) × cos(1.35798992) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.211203827941779 × 6371000     		du = 64.5070854399829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35800005)-sin(1.35798992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21119392644307-0.211203827941779)×R²
    abs(-0.49490055--0.49494849)×9.90149870930268e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.90149870930268e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.90149870930268e-06×40589641000000     		ar = 4163.07552927483m²