Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55211 / 17031
↖ ↑ ↗
← N 78.832342°
W 28.358460°		 ← 59.16 m → N 78.832342°
W 28.355713°		 →
↑
59.12 m
↓
↑
59.12 m
↓
N 78.831811°
W 28.358460°		 ← 59.16 m →
3 497 m²		 N 78.831811°
W 28.355713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421230316162109 y=0.129940032958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421230316162109 × 217)
    floor (0.421230316162109 × 131072)
    floor (55211.5)     		tx = 55211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129940032958984 × 217)
    floor (0.129940032958984 × 131072)
    floor (17031.5)     		ty = 17031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55211 / 17031 ti = "17/55211/17031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55211/17031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55211 ÷ 217
    55211 ÷ 131072     		x = 0.421226501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17031 ÷ 217
    17031 ÷ 131072     		y = 0.129936218261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421226501464844 × 2 - 1) × π
    -0.157546997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.49494849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129936218261719 × 2 - 1) × π
    0.740127563476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.32517931607082
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49494849} λ = -0.49494849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32517931607082))-π/2
    2×atan(10.228514058307)-π/2
    2×1.47334012891397-π/2
    2.94668025782793-1.57079632675     		φ = 1.37588393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49494849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.358460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37588393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.832342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55211 KachelY 17031 -0.49494849 1.37588393 -28.358460 78.832342
    Oben rechts KachelX + 1 55212 KachelY 17031 -0.49490055 1.37588393 -28.355713 78.832342
    Unten links KachelX 55211 KachelY + 1 17032 -0.49494849 1.37587465 -28.358460 78.831811
    Unten rechts KachelX + 1 55212 KachelY + 1 17032 -0.49490055 1.37587465 -28.355713 78.831811
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37588393-1.37587465) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dl = 59.1228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37588393-1.37587465) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dr = 59.1228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49494849--0.49490055) × cos(1.37588393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193680591298807 × 6371000     		do = 59.1550379211053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49494849--0.49490055) × cos(1.37587465) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193689695570329 × 6371000     		du = 59.1578185999723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37588393)-sin(1.37587465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193680591298807-0.193689695570329)×R²
    abs(-0.49490055--0.49494849)×9.10427152261972e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.10427152261972e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.10427152261972e-06×40589641000000     		ar = 3497.49840913133m²