Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55210 / 18879
↖ ↑ ↗
← N 77.805351°
W 28.361206°		 ← 64.52 m → N 77.805351°
W 28.358460°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.804771°
W 28.361206°		 ← 64.52 m →
4 164 m²		 N 77.804771°
W 28.358460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421222686767578 y=0.144039154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421222686767578 × 217)
    floor (0.421222686767578 × 131072)
    floor (55210.5)     		tx = 55210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144039154052734 × 217)
    floor (0.144039154052734 × 131072)
    floor (18879.5)     		ty = 18879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55210 / 18879 ti = "17/55210/18879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55210/18879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55210 ÷ 217
    55210 ÷ 131072     		x = 0.421218872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18879 ÷ 217
    18879 ÷ 131072     		y = 0.144035339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421218872070312 × 2 - 1) × π
    -0.157562255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.49499643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144035339355469 × 2 - 1) × π
    0.711929321289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.23659192557296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49499643} λ = -0.49499643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23659192557296))-π/2
    2×atan(9.36137260501474)-π/2
    2×1.46437793805276-π/2
    2.92875587610553-1.57079632675     		φ = 1.35795955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49499643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.361206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35795955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.805351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55210 KachelY 18879 -0.49499643 1.35795955 -28.361206 77.805351
    Oben rechts KachelX + 1 55211 KachelY 18879 -0.49494849 1.35795955 -28.358460 77.805351
    Unten links KachelX 55210 KachelY + 1 18880 -0.49499643 1.35794942 -28.361206 77.804771
    Unten rechts KachelX + 1 55211 KachelY + 1 18880 -0.49494849 1.35794942 -28.358460 77.804771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35795955-1.35794942) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35795955-1.35794942) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49499643--0.49494849) × cos(1.35795955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211233512759152 × 6371000     		do = 64.5161519472212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49499643--0.49494849) × cos(1.35794942) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211243414171206 × 6371000     		du = 64.5191760933247m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35795955)-sin(1.35794942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211233512759152-0.211243414171206)×R²
    abs(-0.49494849--0.49499643)×9.90141205367556e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.90141205367556e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.90141205367556e-06×40589641000000     		ar = 4163.85583961338m²