Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55209 / 18877
↖ ↑ ↗
← N 77.806511°
W 28.363953°		 ← 64.50 m → N 77.806511°
W 28.361206°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.805931°
W 28.363953°		 ← 64.50 m →
4 163 m²		 N 77.805931°
W 28.361206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.421215057373047 y=0.144023895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.421215057373047 × 217)
    floor (0.421215057373047 × 131072)
    floor (55209.5)     		tx = 55209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144023895263672 × 217)
    floor (0.144023895263672 × 131072)
    floor (18877.5)     		ty = 18877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55209 / 18877 ti = "17/55209/18877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55209/18877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55209 ÷ 217
    55209 ÷ 131072     		x = 0.421211242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18877 ÷ 217
    18877 ÷ 131072     		y = 0.144020080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.421211242675781 × 2 - 1) × π
    -0.157577514648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.49504436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144020080566406 × 2 - 1) × π
    0.711959838867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.2366877993722
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.49504436} λ = -0.49504436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2366877993722))-π/2
    2×atan(9.36227015839773)-π/2
    2×1.46438806345806-π/2
    2.92877612691611-1.57079632675     		φ = 1.35797980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.49504436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.363953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35797980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.806511°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55209 KachelY 18877 -0.49504436 1.35797980 -28.363953 77.806511
    Oben rechts KachelX + 1 55210 KachelY 18877 -0.49499643 1.35797980 -28.361206 77.806511
    Unten links KachelX 55209 KachelY + 1 18878 -0.49504436 1.35796967 -28.363953 77.805931
    Unten rechts KachelX + 1 55210 KachelY + 1 18878 -0.49499643 1.35796967 -28.361206 77.805931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35797980-1.35796967) × R
    1.01300000001636e-05 × 6371000     		dl = 64.5382300010424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35797980-1.35796967) × R
    1.01300000001636e-05 × 6371000     		dr = 64.5382300010424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.49504436--0.49499643) × cos(1.35797980) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.211213719644416 × 6371000     		do = 64.4966501945093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.49504436--0.49499643) × cos(1.35796967) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2112236210998 × 6371000     		du = 64.4996737230253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35797980)-sin(1.35796967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211213719644416-0.2112236210998)×R²
    abs(-0.49499643--0.49504436)×9.90145538373732e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.90145538373732e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.90145538373732e-06×40589641000000     		ar = 4162.59721103382m²